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小学奥数知识系列之--简便方法求余数

来源:福州奥数网 2011-08-24 15:59:59

首届 华罗庚金杯 复赛中有这样一道题: 71427和19的积被7除,余数是几? 有恒心的小朋友会先耐心地乘,再耐心地除,最后得到余数.即: 因此,71427与19的积被7除,余数是2.然而,小明却做出了另外一种方法.请看:

        首届“华罗庚金杯”复赛中有这样一道题:
  71427和19的积被7除,余数是几?

  有恒心的小朋友会先耐心地乘,再耐心地除,最后得到余数.即:

  因此,71427与19的积被7除,余数是2.然而,小明却做出了另外一种方法.请看:先用71427和19两个数分别除以7,得到

    

  再利用乘法的分配律变换算式

  71427×19=(10203×7+6)×19

  =10203×7×19+6×19

  =10203×7×19+6×(2×7+5)

  =10203×7×19+6×2×7+6×5

  然后,他想,式中划“――”的部分都是7的倍数,能被7整除.那么,71427×19的积被7除的余数就等于式中划“”的部分(两个余数的乘积)被7除的余数,因此

  6×5=30,

  30÷7=4……余2.

  所要求的余数是2.

  请读者想想看,小明的做法有道理吗?在你认真思考后,如果认为他的做法还具有代表性,那么,你能概括出什么规律来吗?

  【规律】

  两个自然数的乘积被某数除所得的余数,等于两个数分别被某数除所得余数的乘积,再除以某数所得的余数.

  【练习】

  1.71427和71427的积被7除,余数是几?

  2.求下面各式的余数.

  (1)9804×73864÷3;

  (2)9804×73864÷5;

  (3)9804×73864÷7;

  (4)9804×73864÷11;

  (5)9804×73864÷13;

  (6)123456789×987654321÷3;

  (7)123456789×987654321÷5;

  (8)123456789×987654321÷7.

  3.思考下面的两道题.

  (1)123、456、789这三个数连乘的积被3除,余数是几?

  (2)1234、567、78、9四个数连乘的积被3除,余数是几?

  4.再思考下面的两个问题.

  (1)1991、1993、1994、1996、1997、1999、2000这七个数连乘的积被3除,余数是几?

  (2)1至2000中所有不能被3整除的自然数连乘的积除以3,余数是几?

  提示:21、22、23……分别被3除的余数有如下规律:

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