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小学奥数知识系列之--同余的解题规律

来源:福州奥数网 2011-08-24 15:44:39

在作除法运算时,我们有这样的经验: (1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如,除以5余3的数有 5 1+3=8, 5 2+3=13, 5 3+3=18, 5 4+3=23, (2)一个相同的数除以一些不同的数,可能会有相

  在作除法运算时,我们有这样的经验:

  (1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如,除以5余3的数有

  5×1+3=8,

  5×2+3=13,

  5×3+3=18,

  5×4+3=23,

  …………

  (2)一个相同的数除以一些不同的数,可能会有相同的余数.如,389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.

  389÷5=77……余4,

  389÷7=55……余4,

  389÷11=55……余4.

  由此,我们可以来讨论下面的两个问题.

  某数被5除余4,被7除也余4,被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?读者一定会想到有:

  5×7×11+4=389,

  5×7×11×2+4=774,

  5×7×11×3+4=1159,

  …………

  答案有无数多个,但最小的只能是389.

  现在,我们把这个问题上升到一般形式.

  问题一某数分别除以a、b、c、……,都得到相同的余数k.求某数最小是多少?聪明的读者,能得出答案吗?

  需要请读者注意的是,382、767、1152分别除以5、7和11所得的余数2、4、8,虽然都不相同,但是都与相应的除数相差同样多.即

  5-2=3,

  7-4=3,

  11-8=3.

  于是,我们也可以提这样的问题:

  某数被5除余2,被7除余4,被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少?读者一定会想到是

  5×7×11×1-3=382,

  5×7×11×2-3=767,

  5×7×11×3-3=1152,

  …………

  答案有无数多个,但最小只能是382.

  这个问题的一般形式是:

  问题二某数分别除以a、b、c、……得数相应的余数分别是A、B、C、……,并且,这些余数跟相应的除数都相差同样多(也设为k),即

  a-A=b-B=c-C=……=k. 求某数最小是多少?聪明的读者,能得出答案吗?

  【规律】

  某数分别除以a、b、c、……,都得到相同的余数k.求某数最小是多少?答案是

  [a,b,c,……]+k.

  某数分别除以a、b、c、……,得到相应的余数A、B、C、……,并且这些余数跟相应的除数都相差同样多(设为k),即

  a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少?答案是

  [a,b,c,……]-k.

  【练习】

  1.某数分别除以3、5和7,都有相同的余数2.求某数最小是多少?(2除外)

  2.某数被5、6、7除,都得到相同的余数1.问某数在1000以内有哪几个答案?

  3.某数用5除余3,用7除余5,用9除余7,用11除余9.求某数最小是多少?

  4.某数分别用5、7、9和11除,刚好都是差3才能整除.求某数最小是多少?

  5.某数被2000除,余1993;被1999除,余1992;被1998除,余1991.求某数最小是多少?

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