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小学奥数知识系列之――和与差的整除性

来源:福州奥数网 2011-08-24 15:43:32

我们知道,2、4、6、8、10、 都是能被2整除的整数.如果在这些数之间作和运算或差运算: 2+4=6,4+6=10,6+8=14, 2+6=8,4+8=12,6+10=16, 2+8=10,4+10=14, 2+10=12, 2+4+6=12, 2+4+6+8=20, 2+4+6+8+10=3

我们知道,2、4、6、8、10、……都是能被2整除的整数.如果在这些数之间作和运算或差运算:

  2+4=6,4+6=10,6+8=14,

  2+6=8,4+8=12,6+10=16,

  2+8=10,4+10=14,…………

  2+10=12,…………

  …………

  2+4+6=12,

  2+4+6+8=20,

  2+4+6+8+10=30,

  …………

  4-2=2,6-4=2,8-6=2,

  6-2=4,8-4=4,10-6=4,

  8-2=6,10-4=6,…………

  10-2=8,

  …………

  我们发现,它们之间的和或差也都能被2整除.因此,我们有理由猜想:能被2整除的数之间的和或差也能被2整除.

  我们还知道,3、6、9、12、15、……都是能被3整除的数.如果在这些数之间作和运算或者差运算:

  3+6=9,6+9=15,9+12=21,

  3+9=12,6+12=18,9+15=24,

  3+12=15,6+15=21,………

  3+15=18,…………

  ………

  3+6+9=18,

  3+6+9+12=30,

  3+6+9+12+18=48,

  ………

  6-3=3,9-6=3,12-9=3,

  9-3=6,12-6=6,15-9=6,

  12-3=9,15-6=9,………

  15-3=12,………

  ………

  这些运算的结果也都能被3整除.因此,我们又有理由猜想:能被3整除的数之间的和或差也能被3整除.

  有了前面的两点猜想,我们似乎可以作更大胆的猜想:如果有一些数能被某个数整除,那么,这些数之间的和或差也一定能被某个数整除.

  令人不放心的是,关于这个猜想,我们还仅只是考察了“某数”是2和3的部分情形.是不是对所有的情形都正确呢?解决这个问题的办法有两个:一是再接着逐个去验证考察。但这是一件永远也办不完的麻烦事情!另一个办法是用符号(这个发明用符号来表达数学关系的前辈确实是一个伟大的天才!)表示出“猜想”中的数学关系,然后,去想方设法说清它正确的道理.亲爱的读者,你能完成这项工作吗?

【规律】

  如果有整数A、B、C、……都能被整数m整除,那么,就有A±B±C±……

  的结果也能被m整除.

  事实上,整数A、B、C、……都能被整数m整除,那么,这些整数就可以分别写成m的倍数形式:

  A=a?m,B=b?m,C=c?m,……

  (其中a、b、c仍为整数).这样

  A±B±C±……

  =a?m±b?m±c?m±……

  =(a±b±c±……)?m.

  显然,后面的结果是m的倍数,能被m整除.这就说明了原式

  A±B±C±……

  也能被m整除.猜想是正确的.

【练习】

  运用上面的规律你能判断出下面哪些算式的得数能被2、3或5整除.

  (1)123456789×1991+987654321;

  (2)987654321×1992-123456789;

  (3)2+4+6+……+1998+2000;

  (4)5000-4998+4996-4994+……+4-2;

  (5)1×2+3×4+5×6+……+99×100;

  (6)1×2×3+4×5×6+7×8×9+……+97×98×99;

  (7)1×2×3×4×5+6×7×8×9×10+11×12×13×14×15+……+96×97×98×99×100;

  (8)19921+19922+19923+……+19922000.

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