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[奥数课堂]用“先抓嫌疑犯”的办法解题

来源:福州奥数网 2011-08-23 17:16:57

于1998年8月11日~14日在天津南开大学举办的 1998我爱数学少年夏令营 的数学试卷中有这样一道题: 三件运动衣上的号码分别是1,2,3,甲、乙、丙三人各穿一件。现有25个小球。首先发给甲一个球,乙2个球,丙3个球

 于1998年8月11日~14日在天津南开大学举办的“1998我爱数学少年夏令营”的数学试卷中有这样一道题:

  三件运动衣上的号码分别是1,2,3,甲、乙、丙三人各穿一件。现有25个小球。首先发给甲一个球,乙2个球,丙3个球。规定三人从余下的球中各取球一次,其中穿1号球衣的人取他手中球数的1倍,穿2号球衣的人取他手中球数的3倍,穿3号球衣的人取他手中球数的4倍。取走之后,还剩下两个球。那么甲穿的运动衣号码是多少?

  解这道题的关键是确定穿几号球衣的人开始时各发了几个球。如果我们分别用三个□表示三个人开始时发的球数,就应该有如下等式:

  2□+4□+5□=23

  其中第一个方格表示穿1号球衣的人开始时发给的球数,第二个方格表示穿2号球衣的人开始时发给的球数,第三个方格表示穿3号球衣的人开始时发给的球数。这三个方格中分别应该填入1、2、3三个数字。

  由于算式的结果23是个奇数,而无论第一个和第二个方格中填入什么整数,2□和4□都是偶数,所以5□必须是奇数,所以第三个方格中应填入奇数1或3。

  如果第三个方格中填入1,则等式变为:

  2□+4□=18,即:□+2□=9

  这时,在两个方格中只能填2和3的情况下,无论怎样都不能使等式成立,说明第三个方格中不能填1,只能填3,也就是

  2□+4□+5×3=23

  即:2□+4□=8,化简得到:□+2□=4

  这时就很容易地得到:2+2×1=4

  所以就得到结论:穿1号球衣的人开始时发了2个球,穿2号球衣的人开始时发了1个球,穿3号球衣的人开始时发了3个球,而题目已知开始时发给甲1个球,所以甲穿2号球衣。同时也就知道了乙穿1号球衣,丙穿3号球衣。

  本题中在确定第三个方格中填几时所用的思考方法,不是急于确定“是什么”,而是先根据条件确定“可能是什么”,这有点儿类似于警察办案时“先抓嫌疑犯,再确定罪犯”的办法。

  忆起来,其中主要应用的就是本题中的方法,现搞录如下:

  象,就是把分子的个位数字6与分母的十位数字6同时划掉,得到的结果也

  这引起了我们进一步探索的兴趣,我们要问:还有哪些分数具有类似的性质?这就是问:哪些a、b、c的值可以使等式

  

  成立?其中a、b、c均表示1至9的数字。

  首先不难看出,a=b=c时,等式成立,然而我们特别感兴趣的是:a、b、c取不相同数字时的情况。

  将等式改写为:9ac=b(10a-c)

  因为9ac是9的倍数,所以b(10a-c)也一定是9的倍数。

  如果b不是3的倍数,那么10a-c就是9的倍数,由于

  10a-c=9a+(a-c)

  所以a-c就是9的倍数,从而就有a=c,由此可以推出a=b=c,这又成为我们不感兴趣的情况了。

  现在我们只要讨论b是3的倍数的情况,也就是b分别取3、6、9的情况。这就是确定了“嫌疑犯”,下面只要逐个去检验,就可以确定本题的答案了,具体的检验过程留给同学们自己完成。最后结果有四个分数具有这种性质,分别为:

  

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