引入时间变量的空间位移―用波形图解行程问题

　　一些复杂问题的解决，常常需要把它拆分成几个子问题，或者，把它简单化，模型化，以便于用数学工具来处理。在行程问题中，有一种匀速运动在两点之间且往复进行的类型，因为运动者往复运行在两点之间，那么它的运动轨迹必然相互掩盖而难于直观地分析，如果有两个运动者，更是如此。这时，我们引入时间变量，“拉伸”空间，使得它的轨迹看起来不重复了，从而便于分析处理。下面就结合一个实例谈一谈这一独特的分析方法。

　　A的速度为30千米/小时，B的速度为20千米/小时，A和B同时从甲地出发到乙地，他们先后到乙地后又返回甲地……如此往复来回运动。已知A与B第二次迎面相遇与A第二次追上B的两点相距45千米，甲乙两地相距多少千米?

　　A与B在甲、乙两地来回运动，我们试图把它的行踪直观地展示出来，但运动是往复进行的。就有后面的运动轨迹对前面运动轨迹的“掩盖”。由此，我们引入时间维度，从而拉伸A和B的运动轨迹，使其每一个全程运动轨迹不重复前次空间地呈现在我们眼前，这类似于物理学里的“摆”，在运动中的摆里装上细沙，其下置一长方形木板作匀速拉伸，这样摆的来回往复运动就留下了它自己的“足迹”。见图1。

　　此题中，我们设想有两摆互不影响地同时摆动，摆长不一样，速度也不一样，作出其轨迹，如图2。

　　A为“――”B为“……”，A速30千米/小时，B速20千米/小时，上方为甲地，下方为乙地。按时间维度的坐标作出它们各自的运动轨迹。由于甲乙相距一定。VA∶VB=30∶20，所以行一个全程，A用的时间tA与B用的时间tB之间tA∶tB=2∶3，A行完6个全程时，B刚好行完4个全程，时间一定时，他们的行程比是3∶2。

　　由图2可观察到，A与B第一次迎面相遇在M点，第二次迎面相遇在N点。其中我们只须考察N点，由图2知，A与B第一次追上相遇(A与B同向同时达到一点)在H点。实际上2与3的最小公倍数是6，故在6小时处相遇(同向)，可以推想，在第12时时，A和B又一次同向相遇，且相遇点类似地在甲地(H′点)。在图上则相差一个周期，必须指出的是H、H′，其实就是指甲地，它们并无空间上的位移，于是我们把它“移”到H0点，则NH0=45千米。

　　我们观察N点，也就是AB第二次迎面相遇的这一时刻，此时，由图2可知，A已行了2个全程还多，B则行了1个全程多。相遇时，他们合计共行了4个全程。在一定的时间内，A、B共行了4个全程。他们的贡献与其

　　前述H0即为题目所述第二次、第三次……追上相遇的地点，故NH0=

　　答：(第二)全程长112.5千米。

　　需要指出的是，本题借助波形图解题，所画曲线与波所描述的物体的摆动并不一致，我们只取其形式，展示物体运动的轨迹，其实我们假设A、B均是匀速运动的。与摆的运动完全不同，所以，不能套用物理学里的一些关于位移的公式。本题是取其形式，舍其实质，运用其思想，帮助数学解题，其锻炼思维能力的作用也是显而易见的。