第十四讲 列方程解应用题(2)
来源:福州奥数网 2011-08-22 15:09:47
例5 一条船往返于甲、乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶,由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8千米/时,平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1。某天恰逢暴雨,水流速度为原来的2倍,这条船往返共用9时。问:甲、乙两港相距多少千米?
分析:这是流水中的行程问题:
顺水速度=静水速度+水流速度,
逆水速度=静水速度-水流速度。
解答本题的关键是要先求出水流速度。
解:设甲、乙两港相距x千米,原来水流速度为a千米/时根据题意可知,逆水速度与顺水速度的比为2∶1,即
(8-a)∶(8+a)=1∶2,
再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时,则有
解得x=20。
答:甲、乙两港相距20千米。
例6 某校组织150名师生到外地旅游,这些人5时才能出发,为了赶火车,6时55分必须到火车站。他们仅有一辆可乘50人的客车,车速为36千米/时,学校离火车站21千米,显然全部路程都乘车,因需客车多次往返,故时间来不及,只能乘车与步行同时进行。如果步行每小时能走4千米,那么应如何安排,才能使所有人都按时赶到火车站?
赶到火车站,每人步行时间应该相同,乘车时间也相同。设每人步行x时,客车能否在115分钟完成。
解:把150人分三批,每批50人,步行速度为4千米/时,汽车速度为
解得x=1.5(时),即每人步行90分,乘车25分。三批人5时同时出发,第一批人乘25分钟车到达A点,下车步行;客车从A立即返回,在B点遇上步行的第二批人,乘25分钟车,第二批人下车步行,客车再立即返回,又在C点遇到步行而来的第三批人,然后把他们直接送到火车站。
如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的,第三批人是否正巧可乘25分钟车呢?必须计算。
因此可以按上述方法安排。
说明:列方程,解出需步行90分、乘车25分后,可以安排了,但验算不能省掉,因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。通过计算知第三批人正巧可乘车25分,按时到达。但如果人数增加,或者车速减慢,虽然方程可以类似地列出,却不能保证人员都按时到达目的地。
二、引入参数列方程解应用题
对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题,列方程时,除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求”的参数,便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言,以便沟通数量关系,为列方程创造条件。
例7 某人在公路上行走,往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇,每隔6分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动,那么汽车站每隔几分发一班车?
分析:此题看起来似乎不易找到相等关系,注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇,是相遇问题,人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离;每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题,车与人6分所行的路程差恰是两车的距离,再引进速度这一未知常量作参数,问题就解决了。
解:设汽车站每隔x分发一班车,某人的速度是v1,汽车的速度为v2,依题意得
由①②,得
将③代入①,得
说明:此题引入v1,v2两个未知量作参数,计算时这两个参数被消去,即问题的答案与参数的选择无关。本题的解法很多,可参考本丛书《五年级数学活动课》第26讲。
例8 整片牧场上的草长得一样密,一样地快。已知70头牛在24天里把草吃完,而30头牛就得60天。如果要在96天内把牧场的草吃完,那么有多少头牛?
分析:本题中牧场原有草量是多少?每天能生长草量多少?每头牛一天吃草量多少?若这三个量用参数a,b,c表示,再设所求牛的头数为x,则可列出三个方程。若能消去a,b,c,便可解决问题。
解:设整片牧场的原有草量为a,每天生长的草量为b,每头牛一天吃草量为c,x头牛在96天内能把牧场上的草吃完,则有
②-①,得
36b=120C。 ④
③-②,得
96xc=1800c+36b。 ⑤
将④代入⑤,得
96xc=1800c+120c。
解得x=20。
答:有20头牛。