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第十四讲 列方程解应用题

来源:福州奥数网 2011-08-22 15:09:47

在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论,不允许未知数参加计算,这样,对于较复杂的应用题,使用算术方法常常比较困难。而用列方程的方法,未知数

  在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论,不允许未知数参加计算,这样,对于较复杂的应用题,使用算术方法常常比较困难。而用列方程的方法,未知数与已知数同样都是运算的对象,通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系,即列出方程(或方程组),使问题得以解决。所以对于应用题,列方程的方法往往比算术解法易于思考,易于求解。

  列方程解应用题的一般步骤是:审题,设未知数,找出相等关系,列方程,解方程,检验作答。其中列方程是关键的一步,其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来,而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析,有些相等关系比较隐蔽,必要时要应用图表或图形进行直观分析。

一、列简易方程解应用题

  

  10x+1,从而有

  3105+x=10x+1

      7x299999

       x42857

  答:这个六位数为142857

  说明:这一解法的关键有两点:

  

  

  示出来,这里根据题目的特点,采用“整体”设元的方法很有特色。

  (1)是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系;(2)是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。因此,要提高列方程解应用题的能力,就应在这两方面下功夫。

  例2 有一队伍以1.4/秒的速度行军,末尾有一通讯员因事要通知排头,于是以2.6/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾,共用了1050秒。问:队伍有多长?

  分析:这是一道“追及又相遇”的问题,通讯员从末尾到排头是追及问题,他与排头所行路程差为队伍长;通讯员从排头返回排尾是相遇问题,他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了x秒,那么通讯员从排头返回排尾用了(650-x)秒,于是不难列方程。

  解:设通讯员从末尾赶到排头用了x秒,依题意得

  2.6x-1.4x=2.6650-x+1.4650-x)。

  解得x500。推知队伍长为

  (2.6-1.4)×500=600(米)。

  答:队伍长为600米。

  说明:在设未知数时,有两种办法:一种是设直接未知数,求什么、设什么;另一种设间接未知数,当直接设未知数不易列出方程时,就设与要求相关的间接未知数。对于较难的应用题,恰当选择未知数,往往可以使列方程变得容易些。

  例3 铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进,行人速度为3.6千米/时,骑车人速度为10.8千米/时,这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用22秒,通过骑车人用26秒,这列火车的车身总长是多少?

  分析:本题属于追及问题,行人的速度为3.6千米/=1/秒,骑车人的速度为10.8千米/=3/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差,也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x/秒,那么火车的车身长度可表示为(x-1)×22或(x-3)×26,由此不难列出方程。

  解:设这列火车的速度是x/秒,依题意列方程,得

  (x-1)×22=x-3)×26

  解得x=14。所以火车的车身长为

  (14-1)×22=286(米)。

  答:这列火车的车身总长为286米。

  例4 如图,沿着边长为90米的正方形,按逆时针方向,甲从A出发,每分钟走65米,乙从B出发,每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上?

 

  分析:这是环形追及问题,这类问题可以先看成“直线”追及问题,求出乙追上甲所需要的时间,再回到“环行”追及问题,根据乙在这段时间内所走路程,推算出乙应在正方形哪一条边上。

  解:设追上甲时乙走了x分。依题意,甲在乙前方

  3×90=270(米),

  故有

  72x65x+270

  

  由于正方形边长为90米,共四条边,故由

  

 

  可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。

  答:当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。

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