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第十一讲 简单几何体的表面积与体积的计算

来源:福州奥数网 2011-08-22 15:06:01

一、四种常见几何体的平面展开图 1.正方体 沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平,就可以得到它的平面展开图,这一展开图是由六个全等的正方形组成的,见图6―1。 图6─l只是正方体平面展开图的一种画法,还有别的画

一、四种常见几何体的平面展开图

  1.正方体

  沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平,就可以得到它的平面展开图,这一展开图是由六个全等的正方形组成的,见图6―1。

 

  图6─l只是正方体平面展开图的一种画法,还有别的画法(从略)。

  2.长方体

  沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平,就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的,见图6―2。图6―2只是长方体平面展开图的一种画法,还有别的画法(从略)。

 

  3.(直)圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平,就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成,这个长方形的长是圆柱底面圆的周长,宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图6―3就是圆柱的平面展开图。

 

  4.(直)圆锥体

  沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图6―4。

 

二、四种常见几何体表面积与体积公式

  1.长方体

  长方体的表面积=2×(a×b+b×c+c×a)

  长方体的体积=a×b×c(这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高)。

  2.正方体

  正方体的表面积=6×a2

  正方体的体积=a3(这里a为正方体的棱长)。

  3.圆柱体

  圆柱体的侧面积=2πRh

  圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR(h+R)

  圆柱体的体积=πR2h(这里R表示圆柱体底面圆的半径,h表示圆柱的高)。

  4.圆锥体

  圆锥体的侧面积=πRl

  圆锥体的全面积=πRl+πR2

  

  母线长与高)。

三、例题选讲

例1 图6―5中的几何体是一个正方体,图6―6是这个正方体的一个平面展开图,图6―7(a)、(b)、(c)也是这个正方体的平面展开图,但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来,请你给补上。

分析与解:从图6―5和图6―6中可知:互相处于相对面的位置上。只要在图6―7

 

 

  (a)、(b)、(c)三个展开图中,判定谁与谁处在互为对面的位置上,则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。

  先看图6―7中的(a),仔细观察可知,1与4,3与处在互为对面的位置上。

  再看图6―7中的(b),同上,1与3,2与处在互为对面的位置上。

  最后再看图6―7中的(c),同上,1与,2与4处在互为对面的位置上。

  图6―7(a)、(b)、(c)标有数字的空白面上的图案见图6―8中的(a)、(b)、(c)。

 

例2 图6―9中的几何体是一个长方体,四边形APQC是长方体的一个截面(即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形),P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点,请在此长方体的平面展图上,标出线段AC、CQ、QP、PA来。

 

分析与解:只要能正确画出图6―9中长方体的平面展开图,问题便能迎刃而解。图6―10中的粗实线,就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。

 

例3 在图6―11中,M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点,若从M点绕圆柱体的侧面到达N,沿怎么样的路线路程最短?

 

分析与解:沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平,得出圆柱的侧面展开图,见图6―12,从M点绕圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线,见图6―12和图6―13。

 

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