第八讲 比和比例关系(5)
来源:福州奥数网 2011-08-22 11:07:34
用100个银币买了100头牲畜,问猪、山羊、绵羊各几头?
这是十八世纪瑞士大数学家欧拉(1707~1783)提出的问题.
们设1头猪和5头绵羊为A组,3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数,B表示B组的数,要使
(1+ 5)× A+(3+ 2)× B=100,
或简写成 6A+5B=100.
就恰好符合均价是1.
类似于第三讲鸡兔同笼中例17,很明显,A必定是5的整数倍.A=5, B= 4, 6×5+ 5×4=50,50是 100的约数,符合要求.
A=5,猪 5头,绵羊 25头,
B=4,山羊12头,绵羊8头.
猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶(25+8).
现在已把1∶5和3∶2两种比,组合在一起通常称为混合比.
要注意,这样的问题常常有多种解答.
A= 5, B=14或 A=15,B=2才能产生解答,相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.
答:有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10,24,66;或者5,42,53;或者15,6,79.
求混合比是一种很实用的方法,对数学有兴趣的小学同学,学会这种方法是有好处的,会增加灵活运用比例的技巧.
通常求混合比可列下表:
下面例题与例23是同一类型,但由于题目的条件,解法上稍有变化.
例24 某商品76件,出售给33位顾客,每位顾客最多买三件,买 1件按定价,买2件降价 10%,买 3件降价 20%.最后结算,平均每件恰好按原定价的 85%出售,那么买3件的顾客有多少人?
解:题目已给出平均数 85%,可作比较的基准.
1人买3件少 5%×3;
1人买2件多 5%×2;
1人买1件多 15% ×1.
1人买3件与1人买1件成A组,即按1∶1比例,2人买3件与3人买2件成B组,即按2∶3的比例.
A组是2人买4件,每人平均买2件.
B组是5人买12件,每人平均买2.4件.
现在已建立了一个鸡兔同笼型问题:总脚数76,总头数33,兔脚数2.4,鸡脚数2.
B组人数是
(76-2×33)÷(24-2)= 25(人),
A组人数是 33-25=8(人),其中买 3件4人,买 1件4人.
10+ 4= 14(人).
答:买3件的顾客有14位.
建立两种比的A组和B组,与例23的解题思路完全一致,只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组,不仅要从人数考虑满足2A+5B=33,还要从买的件数考虑满足 4A+12B=76.这已完全确定了A组和B组的数,不必再求混合比.