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第八讲 比和比例关系(3)

来源:福州奥数网 2011-08-22 11:07:34

比和比例,是小学数学中的最后一个内容,也是学习更多数学知识的重要基础.有了 比 这个概念和表达方式,处理倍数、分数等问题,要方便灵活得多.我们希望,小学同学学完这一讲,对 除法、分数、比例实质上是一回事,

二、比的变化

  已知两个数量的比,当这两个数量发生增减变化后,当然比也发生变化.通过变化的描述,如何求出原来的两个数量呢?这就是这一节的内容.

  例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分,乙多得22.5分,则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分?

  解一:甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份,变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来?这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36,我们让变化前后都按36份来算.

  5∶4=(5×4)∶(4×4)=20∶16.

  5∶7=(5×3)∶(7×3)=15∶21.

  甲少得22.5分,乙多得22.5分,相当于20-15=5份.因此原来

  甲得22.5÷5×20=90(分),

  乙得 22.5÷5×16=72(分).

  答:原来甲得90分,乙得72分.

  我们再介绍一种能解本节所有问题的解法,也就是通过比例式来列方程.

  解二:设原先甲的得分是5x,那么乙的得分是4x.根据得分变化,可列出比例式.

  (5x-22.5)∶(4x+22.5)=5∶7

  即 5(4x+22.5)=7(5x-22.5)

  15x=12×22.5

  x=18.

  甲原先得分18×5=90(分),乙得18×4=72(分).

  解:其他球的数量没有改变.

  增加8个红球后,红球与其他球数量之比是

  5∶(14-5)=5∶9.

  在没有球增加时,红球与其他球数量之比是

  1∶(3-1)=1∶2=4.5∶9.

  因此8个红球是5-4.5=0.5(份).

  现在总球数是

 

  答:现在共有球224个.

  本题的特点是两个数量中,有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9,就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解:

  (x+8)∶2x=5∶9.

  例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5,开支的钱数之比是8∶3,结果张家结余240元,李家结余270元.问每家各收入多少元?

  解一:我们采用“假设”方法求解.

  如果他们开支的钱数之比也是8∶5,那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元,李家应结余x元.有

  240∶x=8∶5,x=150(元).

  实际上李家结余270元,比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差,每份是120÷(5-3)=60.(元).因此可求出

 

  答:张家收入720元,李家收入450元.

  解二:设张家收入是8份,李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.

  我们画出一个示意图:

 

  张家开支的3倍是(8份-240)×3.

  李家开支的8倍是(5份-270)×8.

  从图上可以看出

  5×8-8×3=16份,相当于

  270×8-240×3=1440(元).

  因此每份是1440÷16=90(元).

  张家收入是90×8=720(元),李家收入是90×5=450(元).

  本题也可以列出比例式:

  (8x-240)∶(5x-270)=8∶3.

  然后求出x.事实上,解方程求x的计算,与解二中图解所示是同一回事,图解有算术味道,而且一些数量关系也直观些.

  例14 A和B两个数的比是8∶5,每一数都减少34后,A是B的2倍,求这两个数.

  解:减少相同的数34,因此未减时,与减了以后,A与B两数之差并没有变,解题时要充分利用这一点.

  8∶5,就是8份与5份,两者相差3份.减去34后,A是B的2倍,就是2∶1,两者相差1.将前项与后项都乘以3,即2∶1=6∶3,使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2(份)或5-3=2(份).因此,每份是34∶2=17.

  A数是17×8=136,B数是17×5=85.

  答:A,B两数分别是136与85.

  本题也可以用例13解一“假设”方法求解,不过要把减少后的2∶1,改写成8∶4.

  例15 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3,小明又买来15张.小强用掉了8张,现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸?

  解一:充分利用已知数据的特殊性.

  4+3=7,5+2=7,15-8=7.原来总数分成7份,变化后总数仍分成7份,总数多了7张,因此,

  新的1份=原来1份+1

  原来4份,新的5份,5-4=1,因此

  新的1份有15-1×4=11(张).

  小明原有图画纸11×5-15=40(张),

  小强原有图画纸11×2+8=30(张).

  答:原来小明有40张,小强有30张图画纸.

  解二:我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数(实际上就是通分)

  4∶3=20∶15

  5∶2=20∶8.

  

  但现在是20∶8,因此这个比的每一份是

 

 

  

  当然,也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.

  解三:设原来小明有4“份”,小强有3“份”图画纸.

  把小明现有的图画纸张数乘2,小强现有的图画纸张数乘5,所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图:

 

  从图上可以看出,3×5-4×2=7(份)相当于图画纸15×2+8×5=70(张).

  因此每份是10张,原来小明有40张,小强有30张.

  例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法,却可以充分利用已知数据的特殊性,找到较简捷的解法,也启示一些随机应变的解题思路.另外,解方程的代数运算,对小学生说来是超前的,不容易熟练掌握.例13的解一,也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的,希望读者能很好掌握,灵活运用.从课外的角度,我们更应启发小同学善于思考,去找灵巧的解法,这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法,利于心算,促进思维.

  例16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时,细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛,点了一段时间后,粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间?

  

  我们把问题改变一下:设细蜡烛长度是2,每小时点

 

  

  等需要时间是

 

  答:这两支蜡烛点了3小时20分.

  把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2,使原来要考虑的“2倍”变成“相等”,思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.

  例17 箱子里有红、白两种玻璃球,红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球,15只红球,经过若干次后,箱子里剩下3只白球,53只红球,那么,箱子里原来红球数比白球数多多少只?

  解:因为红球是白球的3倍多2只,每次取15只,最后剩下53只,所以对3倍的白球,每次取15只,最后应剩51只.

  因为白球每次取7只,最后剩下3只,所以对3倍的白球,每次取 7×3=21只,最后应剩 3×3= 9只.因此.共取了(51- 3×3)÷(7×3-15)= 7(次).

  红球有 15×7+ 53= 158(只).

  白球有 7×7+3=52(只).

  原来红球比白球多 158-52=106(只).

  答:箱子里原有红球数比白球数多106只.

三、比例的其他问题

  

  ,这里必须用分数来说,而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系:

  (甲-7)∶乙= 2∶3.

  因此,有些分数问题,就是比例问题.

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