第八讲 比和比例关系
来源:福州奥数网 2011-08-22 11:07:34
比和比例,是小学数学中的最后一个内容,也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式,处理倍数、分数等问题,要方便灵活得多.我们希望,小学同学学完这一讲,对“除法、分数、比例实质上是一回事,但各有用处”有所理解.
这一讲分三个内容:
一、比和比的分配;
二、倍数的变化;
三、有比例关系的其他问题.
一、比和比的分配
最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系,求出新的比.
例1 甲、乙两个长方形,它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2,乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.
解:设甲的周长是2.
甲与乙的面积之比是
答:甲与乙的面积之比是864∶875.
作为答数,求出的比最好都写成整数.
例2 如右图,ABCD是一个梯形,E是AD的中点,直线CE把梯形分成甲、乙两部分,它们的面积之比是10∶7.
求上底AB与下底CD的长度之比.
解:因为E是中点,三角形CDE与三角形CEA面积相等.
三角形ADC与三角形ABC高相等,它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积
=(10-7)∶(7×2)= 3∶14.
答:AB∶CD=3∶14.
两数之比,可以看作一个分数,处理时与分数计算几乎一样.三数之比,却与分数不一样,因此是这一节讲述的重点.
例3 大、中、小三种杯子,2大杯相当于5中杯,3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和,求与之比.
解:大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4,
中杯与小杯容量之比是4∶3,
大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.
∶
=(10×2+4×3+3×4)∶(10×5+4×4+3×3)
=44∶75.
答:两者容量之比是44∶75.
把5∶2与4∶3这两个比合在一起,成为三样东西之比10∶4∶3,称为连比.例3中已告诉你连比的方法,再举一个更一般的例子.
甲∶乙=3∶5,乙∶丙=7∶4,
3∶5=3×7∶5×7=21∶35,
7∶4=7×5∶4×5=35∶20,
甲∶乙∶丙=21∶35∶20.
花了多少钱?
解:根据比例与乘法的关系,
连比后是
甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2
=32∶48∶63.
答:甲、乙、丙三人共花了429元.