第五讲 整数问题之一(2)

　　例3 在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.

　　解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是

　　122364.

　　例4 四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.

　　解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.

　　要被5整除，个位数只能是0或5.

　　再考虑被11整除.

　　（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.

　　（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.

　　满足条件的四位数只有两个：7040，7645.

　　例5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？

　　

　　，要使它被11整除，要满足

　　（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）

　　能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.

　　再介绍另一种解法.

　　先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11（参见下页除式）.

　　要满足题目的条件，这个数是9876543减6，或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0，1，2，3，4中的两个数字.

 

　　43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此这个数是9876504.

　　思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？

　　（答：1023495）

　　例6 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？

　　与上例题一样，有两种解法.

　　解一：从整除特征考虑.

　　这个七位数的最后一位数字显然是0.

　　另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.

　　1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：

　　1993500，1993320，1993680，

　　其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.

　　解二：直接用除式来考虑.

　　2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除.

　　现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：

 

　　因为 2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.

　　例7 下面这个41位数

 

　　能被7整除，中间方格代表的数字是几？

　　解：因为 111111＝3×7×11×13×37，所以

　　555555＝5×111111和999999＝9×111111

　　都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.

　　

　　右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.

　　把55□99拆成两个数的和：

　　55A00＋B99，

　　其中□=A+B.

　　因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.

　　注意，记住111111能被7整除是很有用的.

　　例8 甲、乙两人进行下面的游戏.

　　两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中

 

　　每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.

　　如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜？

　　解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N＝5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.

　　上面已经列出乙不能获胜的N的取值.

　　如果N＝1，很明显乙必获胜.

　　如果N＝3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.

　　考虑N＝7，11，13是本题最困难的情况.注意到1001＝7×11×13，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜.

　　综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13.

　　记住，1001＝7×11×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.

二、分解质因数

　　一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.

　　质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….