第五讲 整数问题之一

　　整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。

　　对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：

　　49=4×10+9，

　　235=2×100+3×10+5，

　　7064=7×1000+6×10+4，

　　…………………

　　

　　就是

　　

一、整除

　　整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.

　　1.整除的性质

　　性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.

　　例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.

　　性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

　　例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.

　　性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a也一定

　　能被m和n的最小公倍数整除.

　　例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36.

　　如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.

　　例如：7与50是互质的，18与91是互质的.

　　性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除.

　　例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72

　　能被3与4的乘积12整除.

　　性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.

　　性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互

　　质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：

　　要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.

　　能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.

　　2.数的整除特征

　　（1）能被2整除的数的特征：

　　如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.

　　（2）能被5整除的数的特征：

　　如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.

　　（3）能被3（或9）整除的数的特征：

　　如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.

　　（4）能被4（或25）整除的数的特征：

　　如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.

　　（5）能被8（或125）整除的数的特征：

　　如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.

　　（6）能被11整除的数的特征：

　　如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.

　　

　　是什么数字？

　　解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.

　　要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.

　　再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.

　　如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；

　　如果b=2，只有a=5，此数是7542；

　　如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344；

　　如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146；

　　如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.

　　因此其中最小数是7146.

　　根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.

　　例2 一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.

　　解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.

　　这笔帐是367.92元.