奥数网 奥数福州站 > 奥数题库 > 六年级奥数题及答案 > 正文

第三讲 数论的方法技巧之一

来源:福州奥数网整理 2011-08-18 11:03:55

第三讲 数论的方法技巧之一 数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明, 很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚,但要证明它

第三 数论的方法技巧之一

  数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明,“很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚,但要证明它却远非易事”。因而有人说:“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的习题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论问题总是占有相当大的比重。

  小学数学竞赛中的数论问题,常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有:

  1.带余除法:若ab是两个整数,b0,则存在两个整数qr,使得

  a=bq+r0rb),

  且qr是唯一的。

  特别地,如果r=0,那么a=bq。这时,ab整除,记作b|a,也称ba的约数,ab的倍数。

  2.若a|cb|c,且ab互质,则ab|c

  3.唯一分解定理:每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即

 

  其中p1p2<…<pk为质数,a1a2,…,ak为自然数,并且这种表示是唯一的。(1)式称为n的质因数分解或标准分解。

  4.约数个数定理:设n的标准分解式为(1),则它的正约数个数为:

  dn=a1+1)(a2+1)…(ak+1)。

  5.整数集的离散性:nn+1之间不再有其他整数。因此,不等式xyxy-1是等价的。

  下面,我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法

  对于某些研究整数本身的特性的问题,若能合理地选择整数的表示形式,则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有:

  1.十进制表示形式:n=an10n+an-110n-1++a0

  2.带余形式:a=bq+r

  

  42的乘方与奇数之积式:n=2mt,其中t为奇数。

  例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张,每张上写有1个数字,小明将这4张卡片如下图放置,使它们构成1个四位数,并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现,无论白色卡片上是什么数字,计算结果都是1998。问:红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字?

 

  解:设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3a2a1a0,则这个四位数可以写成

  1000a3+100a2+10a1+a0

  它的各位数字之和的10倍是

  10a3+a2+a1+a0=10a3+10a2+10a1+10a0

  这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是

  990a3+90a2-9a0=1998

  110a3+10a2-a0=222

  比较上式等号两边个位、十位和百位,可得

  a0=8a2=1a3=2

  所以红色卡片上是2,黄色卡片上是1,蓝色卡片上是8

  解:依题意,得

 

  a+b+c14

  说明:求解本题所用的基本知识是,正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。

  例3 从自然数123,…,1000中,最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除?

  解:abcd是所取出的数中的任意4个数,则

  a+b+c=18ma+b+d=18n

  其中mn是自然数。于是

  c-d=18m-n)。

  上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数,即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r,则

  a=18a1+rb=18b1+rc=18c1+r

  其中a1b1c1是整数。于是

  a+b+c=18a1+b1+c1+3r

  因为18|a+b+c),所以18|3r,即6|r,推知r=0612。因为1000=55×18+10,所以,从12,…,1000中可取62442,…,99656个数,它们中的任意3个数之和能被18整除。

百科词条:六年级奥数真题

我要投稿