第二讲 和、差与倍数的应用题(3)
来源:福州奥数网整理 2011-08-18 11:02:26
例10 某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人,全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人?
解:设六年级学生人数是“1份”.
男生是4份-23人.
女生是3份+11人.
全校是7份-(23-11)人.
每份是(975+12)÷7=141(人).
男生人数=141×4-23=541(人).
女生人数=975-541=434(人).
答:有男生541人、女生434人.
例9与例10是一个类型的问题,但稍有差别.请读者想一想,“差别”在哪里?
70双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍.问原来两种鞋各有几双?
解:为了计算方便,把原来旅游鞋算作4份,售出1份,还有3份.那么原有皮鞋增加70双后将是3×2=6(份).400+70将是 3+1+6=10(份).每份是
(400+70)÷10=47(双).
原有旅游鞋 47×4=188(双).
原有皮鞋 47×6-70=212 (双).
答:原有旅游鞋188双,皮鞋212双.
设整数的份数,使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化,使思考、计算都较简捷.因此,“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中.
下面例子将是本节的主要内容──年龄问题.
年龄问题是小学算术中常见的一类问题,这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键的一点是:两个人的年龄差总保持不变.
例12 父亲现年50岁,女儿现年14岁.问几年前,父亲的年龄是女儿年龄的5倍?
解:父女相差36岁,这个差是不变的.几年前还是相差36岁.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时,父亲仍比女儿大36岁.这36岁是女儿年龄的(5-1)倍.
36÷(5-1)=9.
当时女儿是9岁,14-9=5,也就是5年前.
答:5年前,父亲年龄是女儿年龄的5倍.
例13 有大、小两个水池,大水池里已有水 300立方米.小水池里已有水70立方米.现在往两个水池里注入同样多的水后,大水池水量是小水池水量的3倍.问每个水池注入了多少立方米的水.
解:画出下面示意图:
我们把小水池注入水后的水量算作1份,大水池注入水后的水量就是3份.从图上可以看出,因为注入两个水池的水量相等,所以大水池比小水池多的水量(300-70)是2份.
因此每份是
(300-70)÷2= 115(立方米).
要注入的水量是
115-70=45 (立方米)?
答:每个水池要注入45立方米的水.
例13与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”.
例14 今年哥俩的岁数加起来是55岁.曾经有一年,哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同,那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁?
解:当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍时,我们设那时弟弟的岁数是1份,哥哥的岁数是2份,那么哥哥与弟弟的岁数之差是1份.两人的岁数之差是不会变的,今年他们的年龄仍相差1份.
题目又告诉我们,那时哥哥岁数,与今年弟弟的岁数相同,因此今年弟弟的岁数也是2份,而哥哥今年的岁数应是2+1=3(份).
今年,哥弟俩年龄之和是
3+2=5(份).
每份是 55÷5= 11(岁).
哥哥今年的岁数是 11×3=33(岁).
答:哥哥今年33岁.
作为本节最后一个例子,我们将年龄问题进行一点变化.
例15 父年38岁,母年36岁,儿子年龄为11岁.
问多少年后,父母年龄之和是儿子年龄的4倍?
解:现在父母年龄之和是
38+ 36 = 74.
现在儿子年龄的 4倍是 11×4=44.相差
74-44= 30.
从4倍来考虑,以后每年长1×4=4,而父母年龄之和每年长1+1=2.
为追上相差的30,要
30÷(4-2)=15(年)?
答:15年后,父母年龄之和是儿子年龄的4倍.
请读者用例15的解题思路,解习题二的第7题.也许就能完全掌握这一解题技巧了.
请读者想一想,例15的解法,与例12的解法,是否不一样?各有什么特点?
我们也可以用例15解法来解例12.具体做法有下面算式:
(14 ×5-50)÷(5-1)= 5(年).
不过要注意 14×5比 50多,因此是 5年前.
三、盈不足问题
在我国古代的算书中,《九章算术》是内容最丰富多彩的一本.在它的第七章,讲了一类盈不足问题,其中第一题,用现代的语言来叙述,就是下面的例题.
例16 有一些人共同买一些东西,每人出8元,就多了3元;每人出7元,就少了4元。那么有多少人?物价是多少?
解:“多3元”与“少4元”两者相差
3+4=7(元).
每个人要多出 8-7=1(元).
因此就知道,共有7÷1=7(人),物价是
8×7-3=53(元).
答:共有 7个人一起买,物价是 53元.
上面的3+4可以说是两个总数的相差数.而8-7是每份的相差数.计算公式是
总数相差数÷每份相差数=份数
这样的问题在内容上有很多变化,形成了一类问题,我们通称为“盈不足”问题.请再看一些例子.
例17 把一袋糖分给小朋友们,每人分10粒,正好分完;如果每人分16粒,就有3个小朋友分不到糖.这袋糖有多少粒?
解一:3位小朋友本来每人可以分到10粒,他们共有的 10 ×3= 30(粒),分给其余小朋友,每人就可以增加16-10=6(粒),因此其余小朋友有
10×3÷(16-10)= 5(人).
再加上这 3位小朋友,共有小朋友 5+3= 8(人).这袋糖有
10×(5 + 3)= 80(粒).
解二:如果我们再增加 16×3粒糖,每人都可以增加(1-10)粒,因此共有小朋友
16×3÷(16-10)=8(人)?
这袋糖有80粒.
答:这袋糖有80粒.
这里, 16×3是总差,(16-10)是每份差, 8是份数.