第一讲 行程问题(6)

　　例18 快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？

　　解：画一张示意图：

 

　　设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.

　　有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.

　　慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢？去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶3×7=21（单位）.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1＝14（单位）.

　　现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是

　　14÷（2＋3）＝2.8（小时）.

　　慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了

　　7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）.

　　答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分.

　　例19 一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.

　　解：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图

 

　　第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.

　　为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此

　　顺水速度∶逆水速度=5∶3.

　　由于两者速度差是8千米.立即可得出

 

　　A至B距离是 12＋3=15（千米）.

　　答：A至B两地距离是15千米.

　　例20 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行.1小时20分后，在第二段的

　　解一：画出如下示意图：

 

　　当从乙城出发的汽车走完第三段到C时，从甲城出发的汽车走完第一段的

 

　　到达D处，这样，D把第一段分成两部分

 

　

　　时20分相当于

 

　

　　

　　因此就知道，汽车在第一段需要

 

　　第二段需要 30×3＝90（分钟）；

　　

　　甲、乙两市距离是

 

　　答：甲、乙两市相距185千米.

　　把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例8、例13也是类似思路，仅仅是问题简单些.

　　还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间.

　　

　　第一段所用时间∶第三段所用时间=5∶2.

　　

　　时间一样.

　　第一段所用时间∶第二段所用时间=5∶9.

　　因此，三段路程所用时间的比是

　　5∶9∶2.

　　汽车走完全程所用时间是 80×2＝160（分种）.

　　

　　例21 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？

　　解：设原速度是1.

　　

　　％后，所用时间缩短到原时间的

 

　　这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.

　　用原速行驶需要

 

　　同样道理，车速提高25％，所用时间缩短到原来的

 

　

　　

　　如果一开始就加速25％，可少时间

 

　　现在只少了40分钟， 72-40＝32（分钟）.

　　说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间

　

　　真巧，320-160＝160（分钟），原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长

 

　　答：甲、乙两地相距270千米.

　　十分有意思，按原速行驶120千米，这一条件只在最后用上.事实上，其他条件已完全确定了“原速”与“加速”两段行程的时间的比例关系，当然也确定了距离的比例关系.

　　全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为x，就有

　　x∶120＝72∶32.