第一讲 行程问题(2)
来源:福州奥数网整理 2011-08-18 11:00:20
例4 上午8点8分,小明骑自行车从家里出发,8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是8千米,这时是几点几分?
解:画一张简单的示意图:
图上可以看出,从爸爸第一次追上到第二次追上,小明走了
8-4=4(千米).
而爸爸骑的距离是 4+ 8= 12(千米).
这就知道,爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4=3(倍).按照这个倍数计算,小明骑8千米,爸爸可以骑行8×3=24(千米).
但事实上,爸爸少用了8分钟,骑行了
4+12=16(千米).
少骑行24-16=8(千米).
摩托车的速度是1千米/分,爸爸骑行16千米需要16分钟.
8+8+16=32.
答:这时是8点32分.
下面讲“相遇问题”.
小王从甲地到乙地,小张从乙地到甲地,两人在途中相遇,实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发,那么
甲走的距离+乙走的距离
=甲的速度×时间+乙的速度×时间
=(甲的速度+乙的速度)×时间.
“相遇问题”,常常要考虑两人的速度和.
例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟,小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发,几分钟后两人相遇?
解:走同样长的距离,小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12=3(倍),因此自行车的速度是步行速度的3倍,也可以说,在同一时间内,小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段,小王走了3段,小张走了1段,小张花费的时间是
36÷(3+1)=9(分钟).
答:两人在9分钟后相遇.
例6 小张从甲地到乙地,每小时步行5千米,小王从乙地到甲地,每小时步行4千米.两人同时出发,然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇,求甲、乙两地间的距离.
解:画一张示意图
离中点1千米的地方是A点,从图上可以看出,小张走了两地距离的一半多1千米,小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇,小张比小王多走了2千米
小张比小王每小时多走(5-4)千米,从出发到相遇所用的时间是
2÷(5-4)=2(小时).
因此,甲、乙两地的距离是
(5+ 4)×2=18(千米).
本题表面的现象是“相遇”,实质上却要考虑“小张比小王多走多少?”岂不是有“追及”的特点吗?对小学的应用题,不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质,究竟考虑速度差,还是考虑速度和,要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”,“两人一前一后”就是“追及”.
请再看一个例子.
例7 甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行,6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变,乙车每小时多行5千米,且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变,甲车每小时多行5千米,且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点16千米.求A,B两地距离.
解:先画一张行程示意图如下
设乙加速后与甲相遇于D点,甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间,是由速度和决定的.不论甲加速,还是乙加速,它们的速度和比原来都增加5千米,因此,不论在D点相遇,还是在E点相遇,所用时间是一样的,这是解决本题的关键.
下面的考虑重点转向速度差.
在同样的时间内,甲如果加速,就到E点,而不加速,只能到 D点.这两点距离是 12+ 16= 28(千米),加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此,在D点
(或E点)相遇所用时间是
28÷5= 5.6(小时).
比C点相遇少用 6-5.6=0.4(小时).
甲到达D,和到达C点速度是一样的,少用0.4小时,少走12千米,因此甲的速度是
12÷0.4=30(千米/小时).
同样道理,乙的速度是
16÷0.4=40(千米/小时).
A到 B距离是(30+ 40)×6= 420(千米).
答: A,B两地距离是 420千米.
很明显,例7不能简单地说成是“相遇问题”.