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同余问题(五年级奥数题及答案)

来源:奥数网整理 文章作者:   2011-07-28 15:49:59

[标签:五年级奥数]
同余问题求14389除以7的余数。解:同余的性质能使大数化小,凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小,然后从低次幂入手,重复平方,找找有什么规律。解法1:∵1433(mod7)

  同余问题

  求14389除以7的余数。

  解: 同余的性质能使"大数化小",凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小,然后从低次幂入手,重复平方,找找有什么规律。

  解法1:∵143≡3(mod7)

  ∴14389≡389(mod 7)

  ∵89=64+16+8+1

  而32≡2(mod 7),

  34≡4(mod7),

  38≡16≡2(mod 7),

  316≡4(mod 7),

  332≡16≡2(mod 7),

  364≡4(mod 7)。

  ∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5(mod 7),

  ∴14389≡5(mod 7)。

  答:14389除以7的余数是5。

  解法2:证得14389≡389(mod 7)后,

  36≡32×34≡2×4≡1(mod 7),

  ∴384≡(36)14≡1(mod 7)。

  ∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5(mod 7)。

  ∴14389≡5(mod 7)。

 

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