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(下册)第十讲 逻辑推理(一)

来源:网络资源 文章作者:匿名 2011-07-28 15:47:35

由于数学学科的特点,通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径.为了使同学们在思考问题时更严密更合理,会有很有据地想问题,而不是凭空猜想,这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。解答这

  由于数学学科的特点,通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径.为了使同学们在思考问题时更严密更合理,会有很有据地想问题,而不是凭空猜想,这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。

  解答这类问题,首先要从所给的条件中理清各部分之间的关系,然后进行分析推理,排除一些不可能的情况,逐步归纳,找到正确的答案。

例1 公路上按一路纵队排列着五辆大客车.每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志.每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市,有三辆开往B市;并且他们都只能看见在自己前面的车的标志.调度员听说这几位司机都很聪明,没有直接告诉他们的车是开往何处的,而让他们根据已知的情况进行判断.他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的.这个司机看看前两辆车的标志,想了想说“不知道”.第二辆车的司机看了看第一辆车的标志,又根据第三个司机的“不知道”,想了想,也说不知道.第一个司机也很聪明,他根据第二、三个司机的“不知道”,作出了正确的判断,说出了自己的目的地。

  请同学们想一想,第一个司机的车是开往哪儿去的;他又是怎样分析出来的?

  解:根据第三辆车司机的“不知道”,且已知条件只有两辆车开往A市,说明第一、二辆车不可能都开往A市.(否则,如果第一、二辆车都开往A市的,那么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定开往B市)。

  再根据第二辆车司机的“不知道”,则第一辆车一定不是开往A市的.(否则,如果第一辆车开往A市,则第二辆车即可推断他一定开往B市)。

  运用以上分析推理,第一辆车的司机可以判断,他一定开往B市。

例2 李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹,六个人在一起打羽毛球,举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。

  第一盘,李明和小华对张虎和小红;

  第二盘,张虎和小林对李明和王宁的妹妹。

  请你判断,小华、小红和小林各是谁的妹妹。

  解:因为张虎和小红、小林都搭伴比赛,根据已知条件,兄妹二人不许搭伴,所以张虎的妹妹不是小红和小林,那么只能是小华,剩下就只有两种可能了。

  第一种可能是:李明的妹妹是小红,王宁的妹妹是小林;

  第二种可能是:李明的妹妹是小林,王宁的妹妹是小红。

  对于第一种可能,第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林,这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打,不符合实际,所以第一种可能是不成立的,只有第二种可能是合理的。

  所以判断结果是:张虎的妹妹是小华;李明的妹妹是小林;王宁的妹妹是小红。

例3 “迎春杯”数学竞赛后,甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.甲说:“如果我能获奖,那么乙也能获奖.”乙说:“如果我能获奖,那么丙也能获奖.”丙说:“如果丁没获奖,那么我也不能获奖.”实际上,他们之中只有一个人没有获奖.并且甲、乙、丙说的话都是正确的.那么没能获奖的同学是___。

  解:首先根据丙说的话可以推知,丁必能获奖.否则,假设丁没获奖,那么丙也没获奖,这与“他们之中只有一个人没有获奖”矛盾。

  其次考虑甲是否获奖,假设甲能获奖,那么根据甲说的话可以推知,乙也能获奖;再根据乙说的话又可以推知丙也能获奖,这样就得出4个人全都能获奖,不可能.因此,只有甲没有获奖。

例4 数学竞赛后,小明、小华、小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一人得铜牌.王老师猜测:“小明得金牌;小华不得金牌;小强不得铜牌.”结果王老师只猜对了一个.那么小明得___牌,小华得___牌,小强得___牌。

  分析 逻辑问题通常直接采用正确的推理,逐一分析,讨论所有可能出现的情况,舍弃不合理的情形,最后得到问题的解答.这里以小明所得奖牌进行分析。

  解:①若“小明得金牌”时,小华一定“不得金牌”,这与“王老师只猜对了一个”相矛盾,不合题意。

  ②若小明得银牌时,再以小华得奖情况分别讨论.如果小华得金牌,小强得铜牌,那么王老师没有猜对一个,不合题意;如果小华得铜牌,小强得金牌,那么王老师猜对了两个,也不合题意.

  ③若小明得铜牌时,仍以小华得奖情况分别讨论.如果小华得金牌,小强得银牌,那么王老师只猜对小强得奖牌的名次,符合题意;如果小华得银牌,小强得金牌,那么王老师猜对了两个,不合题意。

  综上所述,小明、小华、小强分别获铜牌、金牌、银牌符合题意。

例5 有三只盒子,甲盒装了两个1克的砝码;乙盒装了两个2克的砝码;丙盒装了一个1克、一个2克的砝码.每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的.聪明的小明只从一只盒子里取出一个砝码,放到天平上称了一下,就把所有标签都改正过来了.你知道这是为什么吗?

  分析 解决本题的关键是确定打开哪只盒子:若打开标有“两个1克砝码”的盒子,则该盒的真实内容是“两个2克砝码”或“一个1克砝码,一个2克砝码”,当取出的是2克砝码时,就无法对其内容作出准确的判断.同样,打开标有“两个2克砝码”的盒子时,也会出现类似的情况.所以,应打开标有“一个1克砝码,一个2克砝码”的盒子.而它的真实内容应该是“两个1克砝码”或“两个2克砝码”。

  ①若取出的是1克砝码,则该盒一定装有两个1克砝码,从而标有“两个2克砝码”的盒子里,不可能是两个2克或两个1克的砝码,而只能是一个1克,一个2克的砝码了;标有“两个1克砝码”的盒子自然装有两个2克砝码。

  ②若取出的是2克砝码,同理可知,此盒装有两个2克砝码;标有“两个1克砝码”的盒子里实际上是一个1克和一个2克的砝码;标有“两个2克砝码”的盒子里实际上是两个1克砝码.

  按以上的推理结果,小明就将全部标签改正过来了。

例6 四人打桥牌,某人手中有13张牌,四种花色样样有;四种花色的张数互不相同.红桃和方块共5张;红桃与黑桃共6张;有两张将牌(主牌).试问这副牌以什么花色的牌为主?

  解:①假设红桃为主.那么红桃有2张;方块有3张;黑桃有4张,因为共13张牌,所以草花有4张,这样,黑桃为草花张数相同.与已知条件“四种花色的张数互不相同”矛盾,即红桃不是主牌。

  ②假设方块为主牌.那么方块有2张;红桃有3张;则黑桃也有3张,亦与已知矛盾。

  ③假设草花为主牌.那么草花有2张.并且推得红桃+方块+黑桃共有11张牌.而已知“红桃和方块共5张,红桃与黑桃共6张”,即得红桃+方块+红桃+黑桃共11张牌.由此得到红桃的张数应为零.与已知条件“四种花色样样有”相矛盾.说明草花不是主牌。

  由以上推理得知,黑桃必为主牌.即黑桃有2张;红桃有4张;方块有1张.那么草花有6张。

例7 S、B、J、R四人分别获数学、英语、语文和逻辑学四个学科的奖学金,但他们都不知道自己获得的是哪一门获学金.他们相互猜测:

  S:“R得逻辑学奖”;

  B:“J得英语奖”;

  J:“S得不到数学奖”;

  R:“B得语文奖”。

  最后发现,数学和逻辑学的获奖者所作的猜测是正确的,其他两人都猜错了.那么他们各得哪门学科的奖学金?

  分析 假设S猜对,即R得逻辑学奖.由已知条件“逻辑学获奖者所作的猜测是正确的”,则R猜对,那么B得语文奖,并且J、B均猜错.而由B猜错,可知J得数学奖,S只好得英语奖,这又说明J猜“S得不到数学奖”是正确的.与前面的推理(J猜错)矛盾.所以S的猜测是错误的。

  解:S猜错,即R得不到逻辑学奖,S不得数学奖且不得逻辑学奖.由此可知,J的猜测是正确的.则J得数学或逻辑学奖.于是推得,B猜错,故R猜对,即B得语文奖,S得英语奖,所以R得数学奖,J得逻辑学奖。

例8 A、B、C三人进行小口径步枪射击比赛,每个人射击6次,并且都得了71分.三人共18次的得分情况,从小到大排列为:

  1,1,1,2,2,3,3,5,5,10,10,10,20,20,20,25,25,50。

  已知A首先射击两次,共得22分;C第一次射击只得3分,请根据条件判断,是谁击中了靶心(击中靶心得50分)?

  解:我们先来推断A6次射击的情况.已知前两次得22分,6次共得71分,从

  71-22=49

  可知,击中靶心的决不会是A.另一方面,在上面18个数中,两数之和等于22的只可能是20和2.再来推算一下四个数之和等于49的可能性.首先,在这四个数中,如果没有25,是绝不可能组成49的.其次,由于49-25=24,则如果没有20,任何三个数也不能组成24.而24-20=4,剩下的两个数显然只能是1和3了.所以A射击6次的得分(不考虑得分顺序)应该是

  20,2,25,20,3,1。

  (可在前面18个数中,划去上述6个数)。

  再来推断击中靶心的人6次得分的情况.从

  71-50=21

  可知,要在前面12个未被划去的数中,取5个数,使其和是21.可以断定,这5个数中,必须包括一个10,一个5,一个3,一个2,一个1.即6次得分情况为

  50,10,5,3,2,1。

  在前面12个未被划去的数中,划去上面这6个数。

  剩下的6个数

  25,20,10,10,5,1

  就是第三个人的得分情况了。

  从这6个数中没有3,而C第一次得了3分,可知这6个数是B射击的得分数.因此C是击中靶心的人。

例9 在一个俱乐部里,有老实人和骗子两类成员,老实人永远说真话,骗子永远说假话.一次我们和俱乐部的四个成员谈天,我们便问他们:“你们是什么人,是老实人?还是骗子?”这四个人的回答如下:

  第一个人说:“我们四个人全都是骗子.”

  第二个人说:“我们当中只有一个人是骗子.”

  第三个人说:“我们四个人中有两个人是骗子.”

  第四个人说:“我是老实人.”

  请判断一下,第四个人是老实人吗?

  解:①四个人当中一定有老实人.因为如果四个人都是骗子,则谁也不会说“我们四个人全都是骗子”.所以第一个人为骗子。

  ②第二个人为骗子.因为如果他是老实人,说实话,由于我们已经判断了第一个人是骗子,则第二、三、四个人都是老实人.但第三个人的回答与他矛盾,两人不可能是同类的,故第二个人说的是假话,他是骗子。

  下面再看第三个人的回答:如果第三个人是编子,则由①可知,第四个人一定是老实人;若第三个人是老实人,那么由他的话知他和第四个人是老实人.因而无论第三个人是骗子还是老实人,都可以推出第四个人是老实人。

  所以,第四个人是老实人。

例10 某医院内科病房,A、B、C、D、E、F、G七名护士每周轮流安排一个夜班.已经知道:A的夜班比C的夜班晚一天,D的夜班比E的夜班的前一天晚三天,B的夜班比G的夜班早三天;F的夜班在B和C的夜班的正中间,而且是在星期四.问每个护士分别在星期几值夜班?

  解:除F以外,可将已知条件归纳如下:CA,E__D,B____G.这里的横线表示空位。

  可见CA不能排在B____G中间,否则F就无法排在BC的正中间了.又F必排在三个空位之一,因此还有两个空位必定是E__D和B__G交叉填空.于是可排出:EBDFG或BFEGD两种情况,而CA只能加在任何一端,那么就有CAEBDFG,EBDFGCA,CABFEGD和BFEGD-CA四种排位.其中只有排位EBDFGCA才能满足已知条件“F在BC的正中间”.所以七名护士值班排序是:E星期一值班,B星期二值班,D星期三值班,F星期四值班,G星期五值班,C星期六值班,A星期日值班.

百科词条:逻辑推理 教师 数学

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