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(下册)第五讲 同余的概念和性质

来源:网络资源 文章作者:匿名 2011-07-28 15:47:35

你会解答下面的问题吗?问题1:今天是星期日,再过15天就是六一儿童节了,问六一儿童节是星期几?这个问题并不难答.因为,一个星期有7天,而157=21,即15=72+1,所以六一儿童节是星期一。问题2:1993年的元旦是星期

  你会解答下面的问题吗?

  问题1:今天是星期日,再过15天就是“六·一”儿童节了,问“六·一”儿童节是星期几?

  这个问题并不难答.因为,一个星期有7天,而15÷7=2…1,即15=7×2+1,所以“六·一”儿童节是星期一。

  问题2:1993年的元旦是星期五,1994年的元旦是星期几?

  这个问题也难不倒我们.因为,1993年有365天,而365=7×52+1,所以1994年的元旦应该是星期六。

  问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中,时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除,所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后,余数都是1,那么我们就说15与365对于模7同余。

  同余定义:若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:

  a≡b(modm). (*)

  上式可读作:

  a同余于b,模m。

  同余式(*)意味着(我们假设a≥b):

  a-b=mk,k是整数,即m|(a-b).

  例如:①15≡365(mod7),因为365-15=350=7×50。

  ②56≡20(mod9),因为56-20=36=9×4。

  ③90≡0(mod10),因为90-0=90=10×9。

  由例③我们得到启发,a可被m整除,可用同余式表示为:a≡0(modm)。

  例如,表示a是一个偶数,可以写

  a≡0(mod 2)

  表示b是一个奇数,可以写

  b≡1(mod 2)

  补充定义:若m(a-b),就说a、b对模m不同余,用式子表示是:

  ab(modm)

  我们书写同余式的方式,使我们想起等式,而事实上,同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质(其中a、b、c、d是整数,而m是自然数)。

  性质1:a≡a(mod m),(反身性)

  这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。

  性质2:若a≡b(mod m),那么b≡a(mod m),(对称性)。

  性质3:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),那么a≡c(mod m),(传递性)。

  性质4:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么a±c≡b±d(mod m),(可加减性)。

  性质5:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么ac≡bd(mod m)(可乘性)。

  性质6:若a≡b(mod m),那么an≡bn(mod m),(其中n为自然数)。

  性质7:若ac≡bc(mod m),(c,m)=1,那么a≡b(mod m),(记号(c,m)表示c与m的最大公约数)。

  注意同余式性质7的条件(c,m)=1,否则像普通等式一样,两边约去,就是错的。

  例如6≡10(mod 4),而35(mod 4),因为(2,4)≠1。

  请你自己举些例子验证上面的性质。

  同余是研究自然数的性质的基本概念,是可除性的符号语言。

例1 判定288和214对于模37是否同余,74与20呢?

  解:∵288-214=74=37×2。

  ∴288≡214(mod37)。

  ∵74-20=54,而3754,

  ∴7420(mod37)。

例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。

分析 若先求乘积,再求余数,计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”,减少计算量。

  解:∵418≡2(mod13),

  814≡8(mod13),1616≡4(mod13),

  ∴ 根据同余的性质5可得:

  418×814×1616≡2×8×4≡64≡12(mod13)。

  答:乘积418×814×1616除以13余数是12。

例3 求14389除以7的余数。

分析 同余的性质能使“大数化小”,凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小,然后从低次幂入手,重复平方,找找有什么规律。

  解法1:∵143≡3(mod7)

  ∴14389≡389(mod 7)

  ∵89=64+16+8+1

  而32≡2(mod 7),

  34≡4(mod7),

  38≡16≡2(mod 7),

  316≡4(mod 7),

  332≡16≡2(mod 7),

  364≡4(mod 7)。

  ∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5(mod 7),

  ∴14389≡5(mod 7)。

  答:14389除以7的余数是5。

  解法2:证得14389≡389(mod 7)后,

  36≡32×34≡2×4≡1(mod 7),

  ∴384≡(36)14≡1(mod 7)。

  ∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5(mod 7)。

  ∴14389≡5(mod 7)。

例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯,且每30秒钟灯的颜色改变一次,第一次上下两灯互换颜色,第二次左右两灯互换颜色,第三次又上下两灯互换颜色,…,这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列?


分析 与解答经观察试验我们可以发现,每经过4次互换,四盏灯的颜色排列重复一次,而1小时=60分钟=120×30秒,所以这道题实质是求120除以4的余数,因为120≡0(mod 4),所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。

  

十位,…上的数码,再设M=a0+a1+…+an,求证:N≡M(mod 9)。

分析 首先把整数N改写成关于10的幂的形式,然后利用10≡1(mod 9)。

  

  又∵ 1≡1(mod 9),

  10≡1(mod 9),

  102≡1(mod 9),

  …

  10n≡1(mod 9),

  上面这些同余式两边分别同乘以a0、a1、a2、…、an,再相加得:

  a0+a1×10+a2×102+…+an×10n

  ≡a0+a1+a2+…+an(mod 9),

  即 N≡M(mod 9).

  这道例题证明了十进制数的一个特有的性质:

  任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

  以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。

  例如,求1827496被9除的余数,只要先求(1+8+2+7+4+9+6),再求和被9除的余数。

  再观察一下上面求和式.我们可以发现,和不一定要求出.因为和式中1+8,2+7,9被9除都余0,求余数时可不予考虑.这样只需求4+6被9除的余数.因此,1827496被9除余数是1。

  有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对,这种检查方法叫:弃九法。

  弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。

  用弃九法检验乘式5483×9117≡49888511是否正确?

  因为 5483≡5+4+8+3≡11≡2(mod 9),

  9117≡9+1+1+7≡0(mod 9),

  所以 5483×9117≡2×0≡0(mod 9)。

  但是 49888511≡4+9+8+8+8+5+1+1

  ≡8(mod9),

  所以 5483×9117≠49888511,即乘积不正确。

  要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确,但不能保证一定正确。

  例如,9875≡9+8+7+5≡2(mod 9),

  4873≡4+8+7+3≡4(mod 9),

  32475689≡3+2+4+7+5+6+8+9

  ≡8(mod 9),

  这时,9875×4873≡2×4≡32475689(mod 9)。

  但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠32475689.因为末位数字5和3相乘不可能等于9。

  弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。

例6 用弃九法检验下面的计算是否正确:

  23372458÷7312=3544。

  解:把除式转化为:

  3544×7312=23372458。

  ∵ 3544≡3+5+4+4≡7(mod 9),

  7312≡7+3+1+2≡4(mod 9),

  ∴ 3544×7312≡7×4≡1(mod 9),

  但 23372458≡2+3+3+8≡7(mod 9)。

  而 17(mod 9)

  ∴ 3544×7312≠23372458,

  即 23372458÷7312≠3544。

例7 求自然数2100+3101+4102的个位数字。

分析 求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。

  解:∵2100≡24×25≡625≡6(mod 10),

  3101≡34×25·31≡125·31≡3(mod 10),

  4102≡(22)100·42≡6·6≡6(mod 10),

  ∴ 2100+3101+4102≡6+3+6≡5(mod 10),

  即自然数2100+3101+4102的个位数字是5.

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