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(上册)第一讲 数的整除问题

来源:网络资源 文章作者:匿名 2011-07-28 15:44:37

数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。一、基本概念和知识1.整除约数和倍数例如:153=5,637=9一般地,如a、b、c为整数,b0,且ab=c,即整数a除以整除

  数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识


  1.整除——约数和倍数

  例如:15÷3=5,63÷7=9

  一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b|a.否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除a),记作ba。

  如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。

  例如:在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。

  2.数的整除性质

  性质1:如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。

  即:如果c|a,c|b,那么c|(a±b)。

  例如:如果2|10,2|6,那么2|(10+6),

  并且2|(10—6)。

  性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:如果bc|a,那么b|a,c|a。

  性质3:如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。

  即:如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。

  例如:如果2|28,7|28,且(2,7)=1,

  那么(2×7)|28。

  性质4:如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。

  即:如果c|b,b|a,那么c|a。

  例如:如果3|9,9|27,那么3|27。

  3.数的整除特征

  ①能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义:一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0).下面“特征”含义相似。

  ②能被5整除的数的特征:个位是0或5。

  ③能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被3(或9)整除。

  ④能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除。

  例如:1864=1800+64,因为100是4与25的倍数,所以1800是4与25的倍数.又因为4|64,所以1864能被4整除.但因为2564,所以1864不能被25整除.

  ⑤能被8(或125)整除的数的特征:末三位数能被8(或125)整除。

  例如:29375=29000+375,因为1000是8与125的倍数,所以29000是8与125的倍数.又因为125|375,所以29375能被125整除.但因为8375,所以829375。

  ⑥能被11整除的数的特征:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。

  例如:判断123456789这九位数能否被11整除?

  解:这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5,又因为115,所以11123456789。

  再例如:判断13574是否是11的倍数?

  解:这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是:(4+5+1)-(7+3)=0.因为0是任何整数的倍数,所以11|0.因此13574是11的倍数。

  ⑦能被7(11或13)整除的数的特征:一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。

  例如:判断1059282是否是7的倍数?

  解:把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282=777,又7|777,所以7|1059282.因此1059282是7的倍数。

  再例如:判断3546725能否被13整除?

  解:把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数,因为821—2=819,又13|819,所以13|2821,进而13|3546725.

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