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[五年级奥数知识] 奇怪的无穷多

来源:网友投稿 文章作者:彭林 2011-07-28 15:43:58

[标签:五年级]
整数有多少个?无穷个。偶数有多少个?无穷个。这样的回答是正确的。如果我问你:整数与偶数,哪一种数多?恐怕不少同学都会说,当然整数比偶数多了。进一步,恐怕还会有同学告诉我,偶数的个数等于整数个数的一半。
整数有多少个?

  无穷个。

  偶数有多少个?

  无穷个。

  这样的回答是正确的。如果我问你:

  整数与偶数,哪一种数多?

  恐怕不少同学都会说,当然整数比偶数多了。进一步,恐怕还会有同学告诉我,“偶数的个数等于整数个数的一半”。什么道理呢?那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相同排列的,所以奇数与偶数一样多,大家都是整数的一半。”

  整数包括偶数,偶数是整数的一部分,全体大于部分,整数比偶数多,这不是显而易见、再明白不过的事吗?

  你认为这样的回答有道理吗?

  16世纪意大利著名科学家伽利略的看法却与此相反,他曾提出过一个著名的悖论,叫做“伽利略悖论”,悖论的内容是:“整数和偶数一样多”。这似乎违背常识。

  不过,伽利略所说的,也绝不是没有道理。首先,我们论述的对象都是无穷个,而不是有限个,对于有限个来说,“全体大于部分”无可争议。从1到10的整数比从1到10的偶数就是多。但是,把这个用到无穷上就要重新考虑了。对于有限来说,说两堆物体数量一样多,只要把各堆物体数一下,看看两堆物体的数量是否相等就可以。这个办法对“无穷”来说是不适用的,因为“无穷”本身就包括“数不完”的意思在内。看起来,我们得另想办法。

  据说,居住在非洲的有些部族,数数最多不超过3,但是他们却知道自己放牧的牛羊是否有丢失。办法是,早上开圈放羊时,让羊一只一只往外出。每出一只羊,牧羊人就拾一块小石头。显然,羊的个数和小石头的个数一样多。傍晚,放牧归来,每进圈一只羊,牧羊人从小石头堆中仍掉一块石头。如果羊全部进了圈,而小石头一个没剩,说明羊一只也没丢。非洲牧羊人实际上采取了“一对一”的办法,两堆物体只要能建立起这种一对一的关系,就可以说明两堆物体的数量一样多。

  这种办法同样可以用在无穷上,看看要比较的两部分之间能否建立起这种一对一的关系。伽利略在整数与偶数之间建立的对应关系是:

  0 1 2 3 4 …

  ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

  2 4 6 8 10 …

  按这样的一种关系,给出一个整数,就可以找出一个偶数与之对应,给出的整数不同,与之相对应的偶数也不同;反过来,对于每一个偶数,都可以找到一个自然数与之对应,偶数不同,所对应的整数也不同,由此我们称整数与偶数之间建立了一对一的关系,所以我们说:“整数与偶数一样多”是正确的。

  这告诉我们,“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的,许多对“有限”成立的性质,对“无穷”却未必成立。

百科词条:五年级

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