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[五年级奥数]简单统筹规划例谈

来源:网友投稿 文章作者:彭林 2011-07-28 15:43:58

我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用,并亲自带领小分队推广优选法、统筹法,取得了可喜可贺的成绩,使数学直接为国民经济发展服务。在这一讲,我们通过几个简单的最优化问题使大家对统筹规划思想方法有
我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用,并亲自带领小分队推广优选法、统筹法,取得了可喜可贺的成绩,使数学直接为国民经济发展服务。在这一讲,我们通过几个简单的“最优化”问题使大家对统筹规划思想方法有个初步了解。

例1一只平底锅上只能煎两只饼,用它煎1只饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)。问:煎三只饼需几分钟?怎样煎?

因为这只平底锅上可煎两只饼,所以容易想到:先把两饼一起煎,需2分钟;再煎第3只,仍需2分钟,共需4分钟。但这不是最省时间的办法。因为每只饼都有正反两面,3只饼共6面,1分钟可煎2面,煎6面只需3钟。

例2 6个人各拿一只水桶到水龙头接水,水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用,问怎样安排这6人的打水次序,可使他们总的等候时间最短?这个最短时间是多少?

第一个人接水时,包括他本人在内,共有6个人等候,第二个人接水时,有5个人等候;……第6个人接水时,只有他1个人等候。可见,等候的人越多(一开始时),接水时间应当越短,这样总的等候时间才会最少,因此,应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水,这个最短时间是3×6+4×5+5×4+6×3+7×2+10=100(分)。

例3 如右图,有甲乙两个工厂各自需要15吨钢材,而丙丁两个仓库正好分别有12吨、18吨这种钢材,问如何调运可使甲乙两个工厂都正好得到各自所需要的钢材而又能使运输费用最省(假设钢材的运费每吨公里相同)。

因为运费的多少决定于每吨钢材所运的路程,所以只需计算所有钢材被运的路程,并使总路程尽可能的少。设所有钢材被运路程为S(单位:吨公里)。

  设从丙仓库运往甲工厂钢材m吨,则所剩(12-m)吨钢材将运往乙工厂,且丁仓库将运往甲工厂(15-m)吨,剩余的(18-15+m)吨应运往乙工厂。

  所以 S=800m+500?(12-m)+400?(15-m)+300?(18-15+m)=200m+12900

  由上式可看出要使运费最省而又要两个工厂都得到所需钢材,只需S最小即可,而S的大小取决于m。故m最小时S最小,所以m应为0。

  这时的具体调运方案为:由丁仓库运15吨钢材到甲工厂,运3吨钢材到乙工厂,丙运12吨钢材到乙工厂。

说明 此题数量关系比较简单,凭借直观亦能得出正确的答案。然而本题旨在介绍一下统筹规划的一般研究方法:即对具体问题进行抽象,列出满足题目条件的关系式,利用数学方法研究使关系式达到最大或最小的条件,实际问题的数学模型方法。

想想练练

  1.妈妈让小明给客人烧水沏茶,洗开水要1分钟,烧开水要15分钟,洗茶壶要1分钟,洗茶杯要1分钟,拿茶叶要2分钟,为了使客人早点喝上茶,按你认为最合理的安排,多少分钟就能彻好茶了?

  2.在一条公路上有4个工厂,任意相邻的两个工厂距离相等(如图所示)。现在要在这条公路上设一车站,使得这4个工厂的所有工人步行到车站的总路程最少,这个车站应设在_____号工厂门口。

  3.北京和上海同时制成了电子计算机若干台,除本地应用外,北京可以支援外地10台,上海可以支援外地4台,现在决定给重庆8台,汉口6台,若每台计算机的运费如下表:(单位:百天)

  上海和北京制造的机器完全相同,应该怎样调运,才能使总的运费最省?

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