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从三角形的中位线说起

来源:网友投稿 文章作者:郜舒竹 2011-07-28 15:43:41

[标签:三角形]
在认识三角形的时候,同学们都学过一个概念,叫做三角形的中位线,同学们都会认为这是一非常简单的概念,如果我们对这个概念加深一点认识,就可以看到它是多么的有用。所谓三角形的中位线,其实就是三角形两条边中点

在认识三角形的时候,同学们都学过一个概念,叫做三角形的中位线,同学们都会认为这是一非常简单的概念,如果我们对这个概念加深一点认识,就可以看到它是多么的有用。

  所谓三角形的中位线,其实就是三角形两条边中点的连线,如图1

  图中线段DE就是三角形ABC的一条中位线。关于三角形的中位线有几条重要的结论:

  1.三角形ABC的中位线DE与底边BC平行,并且它的长度是底边长

  

  

  下面我们把三角形中位线的概念稍微推广一

  这时我们可以得到类似的结论:

  

  这几条结论的正确性留给同学们自己思考,下面我们要应用这些结论解决问题。

问题1 如图2,在三角形ABC中,DEAB边上的三等分点,

角形ABC的面积是1,求这四个部分的面积。

  连接GF如图3,根据前面的结论可以知道:

 

   

  

  再连接DFEG,得到梯形DEGF,如图4

  在梯形DEGF中,如果设三角形DOE的面积为1,则不难分析出三角形EOGDOF的面积为2,三角形GOF的面积为4。(参见《中小学数学》(小学版)1999年第10期“已知整体求局部”),所以三角形BEG和三角形ADF的面积为3

  从而三角形DOE的面积为:

  四边形ADOFEOGB的面积都为:

 

  四边形CFOG的面积为:

  

  至此四个部分的面积都求出来了。

问题2 把面积为1的三角形ABC的三边三等分,使其构成如图5所示的两个三角形D1E1F1D2E2F2。求这两个三角形的交点所形成的六边形O1O2O3O4O5O6的面积。

  用与上题同样的方法,可以得到图中三角形D1D2O2E1E2O4F1F2O6

 

 

 

  

  在梯形D1D2F1F2中,下底长度是上底长度的2倍,用本刊1999年第10期“已知整体求局部”一文的方法不难求出三角形 

  

  

  用完全一样的方法可以求出其他5个类似于三角形D1O2O1的图形的面

 

  本题的解法貌似复杂,其实它的基本思路就是整体减去部分,所用工具就是三角形中位线的若干性质。模仿以上问题解决的思路,我们还可以解决下面的问题。

问题 已知一个长方形ABCD的面积为1,将它的四条边分别三等分,将这些等分点如图7连接,求中间八边形O1O2O3O4O5O6O7O8的面积。

  首先不难发现,中间八边形的外围出现了如下三种图形:

  第一种:四个类似于AE1O1F4的四边形;

  第二种:八个类似于E1O1O2的三角形;

  第三种:四个类似于E1F1O2的三角形。

  如果能把这三种图形的面积分别求出来,本题也就迎刃而解了。

  先把图形简化成如图8形式:

  连接F4E1E4F1,如图9

  在三角形AF1E4中,线段F4E1就是底边E4F1上的中位线,用前边同样的

  梯形E1F1E4F4的面积是:

  三角形E1O1F4的面积是: 

  

  现在我们已经求出四边形AE1O1E4的面积为: 

  

求出第二和第三种三角形的面积,我们画出如图10的简化图形:

 

  

 

  不难求出这个梯形的面积为:

  由于下底F4E2长度是上底E1F1长度的3倍,所以三角形E1F1O2的面积为:

  三角形E1O1O2的面积为:

 

   

  综合以上结论我们可以得到本题答案为:

百科词条:三角形

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