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五年级奥数知识 奇怪的无穷多和变换

来源:转载 2011-07-28 15:43:41

[标签:五年级]
一奇怪的无穷多整数有多少个?无穷个。偶数有多少个?无穷个。这样的回答是正确的。如果我问你:整数与偶数,哪一种数多?恐怕不少同学都会说,当然整数比偶数多了。进一步,恐怕还会有同学告诉我,偶数的个数等于整

一 奇怪的无穷多

    整数有多少个?

  无穷个。

  偶数有多少个?

  无穷个。

  这样的回答是正确的。如果我问你:

  整数与偶数,哪一种数多?

  恐怕不少同学都会说,当然整数比偶数多了。进一步,恐怕还会有同学告诉我,“偶数的个数等于整数个数的一半”。什么道理呢?那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相同排列的,所以奇数与偶数一样多,大家都是整数的一半。”

  整数包括偶数,偶数是整数的一部分,全体大于部分,整数比偶数多,这不是显而易见、再明白不过的事吗?

  你认为这样的回答有道理吗?

  16世纪意大利著名科学家伽利略的看法却与此相反,他曾提出过一个著名的悖论,叫做“伽利略悖论”,悖论的内容是:“整数和偶数一样多”。这似乎违背常识。

  不过,伽利略所说的,也绝不是没有道理。首先,我们论述的对象都是无穷个,而不是有限个,对于有限个来说,“全体大于部分”无可争议。从1到10的整数比从1到10的偶数就是多。但是,把这个用到无穷上就要重新考虑了。对于有限来说,说两堆物体数量一样多,只要把各堆物体数一下,看看两堆物体的数量是否相等就可以。这个办法对“无穷”来说是不适用的,因为“无穷”本身就包括“数不完”的意思在内。看起来,我们得另想办法。

  据说,居住在非洲的有些部族,数数最多不超过3,但是他们却知道自己放牧的牛羊是否有丢失。办法是,早上开圈放羊时,让羊一只一只往外出。每出一只羊,牧羊人就拾一块小石头。显然,羊的个数和小石头的个数一样多。傍晚,放牧归来,每进圈一只羊,牧羊人从小石头堆中仍掉一块石头。如果羊全部进了圈,而小石头一个没剩,说明羊一只也没丢。非洲牧羊人实际上采取了“一对一”的办法,两堆物体只要能建立起这种一对一的关系,就可以说明两堆物体的数量一样多。

  这种办法同样可以用在无穷上,看看要比较的两部分之间能否建立起这种一对一的关系。伽利略在整数与偶数之间建立的对应关系是:

  0 1 2 3 4 …

  ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

  2 4 6 8 10 …

  按这样的一种关系,给出一个整数,就可以找出一个偶数与之对应,给出的整数不同,与之相对应的偶数也不同;反过来,对于每一个偶数,都可以找到一个自然数与之对应,偶数不同,所对应的整数也不同,由此我们称整数与偶数之间建立了一对一的关系,所以我们说:“整数与偶数一样多”是正确的。

  这告诉我们,“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的,许多对“有限”成立的性质,对“无穷”却未必成立。

二 变换

    任给一个自然数n,如果n是偶数,则将它除以2;如果n是奇数,则将它乘以3,再加上1,我们称这种作法为对于数n的变换.例如,对于数5,按照上述规则进行一次变换得到。
  3×5+1=16.

  对16施行变换得 16÷2=8.

  将这种变换继续下去,有

  8÷2=4, 4÷2=2,

  2÷2=1, 1×3+1=4,

  4÷2=2, 2÷2=1,

  ……

  有趣的是,对于数5,按照上面所要求的规则不断变换下去,最终出现形如

  4→2→1→4→2→1→……的重复.

  还可以以6为例按上述指定规则进行变换,得到

  6→3→10→5→16→8

  4→2→1→4→2→1→……

  再如18,

  18→9→28→14→7→22→

  11→34→17→52→26→13→

  40→20→10→5→16→8→

  我们发现在这种指定变换下,无论开始是哪个自然数,最终总得到形如

  4→2→1→4→2→1的循环、重复.

  遗憾的是我们不能仅凭列举若干自然数,就断定对任何自然数n都具备这种性质。事实上,到目前为止,还没有谁能证明这一点。

  在竞赛中我们会遇到一些类似的变换,有时候是对一个数连续进行某种指定变换,有时候是对一组数连续进行某种指定变换。在纷乱多样的变化中,却隐藏着某种规律,而我们解决这些问题的关键,就在于透过表面现象,从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。

  例1 对任意两个不同的自然数,将其中较大的数换成这两数之差,称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换:

  18,42→18,24→18,6→12,6→6,6。

  直到两数相同为止。问:对12345和54321进行这样的连续变换,最后得到的两个相同的数是几?为什么?

   如果两个数的最大公约数是a,那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中,所得两数的最大公约数始终不变,所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大约数是3,所以最后得到的两个相同的数是3。

  说明 这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。

  例2 在图1中,对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1,这算作一次变换。经过若干次变换后,图1变为图2。问:图2中A格中的数字是几?


 

   每次变换都是在相邻的两格,我们将相邻的两格染上不同的颜色(如图3)。因为每次变换总是一个黑格与一个白格的数字同时加上或减1,所以所有黑格内的数字之和与所有白格内数字之和的差保持不变。因为图1的这个差是13,所以图2的这个差也是13。由(A+12)-12=13得A=13。

  例3 黑板上写着三个整数,任意擦去其中一个,将它改写成为其它两数之和减1,这样继续下去,最后得到3,1997,1999,问原来的三个数能否是2,2,2?

   答案是否定的。

  注意到2,2,2按照题设中的方式首先变换为2,2,3,再变换下去必定其中两个为偶数,一个为奇数(数值可以改变,但奇偶性不变)。但3,1997,1999是三个奇数,所以2,2,2永远不会按照所述方式变为3,1997,1999。

  想想练练

  1.黑板上写着1~15共15个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1。例如,擦掉5和11,要写上15。经过若干次后,黑板上就会剩下一个数,这个数是几?

  2.在黑板上任意写一个自然数,然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数,称为一次变换。问最多经过多少次变换,黑板上就会出现2?

  3.口袋里装有101张小纸片,上面分别写着1~101。每次从袋中任意摸出5张小纸片,然后算出这5张小纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样做后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是几?

  4.在一个圆上标出一些数:第一次先把圆周二等分,在两个分点分别标上2和4。第二次把两段半弧分别二等分,在分点标上相邻两数的平均数3(图4)。第三次把四段弧再分别二等分,在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去,当第8次标完后,圆周上所有标出的数的总和是多少?

百科词条:五年级

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