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[奥数课堂]往返行程问题的解法探讨

来源:网友投稿 文章作者:樊善平 2011-07-28 15:43:41

[标签:行程问题]
不少学生在解答往返行程问题时往往束手无策,有的虽能解出,但过程冗长、步骤繁琐,究其原因是还没有把握住这类题的基本特征。现以下面几道题为例,说明只有掌握它们的特征,才能得出简捷的解法。例1甲乙两辆汽车分
不少学生在解答往返行程问题时往往束手无策,有的虽能解出,但过程冗长、步骤繁琐,究其原因是还没有把握住这类题的基本特征。现以下面几道题为例,说明只有掌握它们的特征,才能得出简捷的解法。

例1 甲乙两辆汽车分别从相距63千米处的矿山与堆料场运料同时相向开出,时速分别为40千米和50千米,如果不计装卸时间,那么,两车往返运料自出发到第三次相遇共经过多少时间?

  该题为往返行程问题,即两者往返于两地之间,不止一次地相遇。这种问题除具备相遇问题的特征外,还有如下特征:

  由图可见,第一次相遇两车行的路程和等于两地距离。以后每增加一次相遇,两车行的路程和为两地距离的2倍。故到第三次相遇,两车行的总路程为两地距离的5倍,这样便不难得出该题的解法:

  63×5÷(40+50)=3.5(小时)

  掌握了上述特征后,就能把较复杂的往返行程问题化难为易,解法化繁为简。如:

例2 甲、乙两人同时从东西两镇相向步行,在距西镇20千米处两人相遇,相遇后两人又继续前进。甲至西镇、乙至东镇后都立即返回,两人又在距东镇15千米处相遇,求东西两镇距离?

解法一 设东西两镇相距为x千米,由于两次相遇时间不变,则两人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比,故得方程:

  

  所以东西两镇相距45千米。

解法二 紧扣往返行程问题的特征,两人自出发至第二次相遇所走路程总和为东西两镇距离的3倍,而第一次相遇距西镇20千米,正是乙第一次相遇前所走路程,则从出发至第二次相遇乙共走(20×3=)60(千米),第二次相遇时乙已从东镇返回又走了15千米,所以,两镇的距离为(20×3-15=)45(千米)

例3 甲乙两人同时从东镇出发,到相距90千米的西镇办事,甲骑自行车每小时行30千米,乙步行每小时行10千米,甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回,途中与乙相遇。问这时乙走了多少千米?

解法一 东西两镇相距90千米,甲每小时行30千米,共需(90÷30=)3(小时)。

  连办事共用了(3+1=)4(小时)。

  乙每时行10千米,4小时共行(10×4=)40(千米)。

  这时两人相距(90-40=)50(千米),两人正好同时从 A、B相向而行,其相遇时间为(50÷(30+10)=)1.25(小时)。于是乙从出发至相遇经过了(4+1.25

  因此,共走了10×5.25=52.5(千米)。

解法二 根据题意可知甲从东镇到西镇,返回时与乙相遇(乙未到西镇,无返回现象),故两人所行路程总和为(90×2=)180(千米),但因甲到西镇用了1小时办事。倘若甲在这1小时中没有停步(如到另一地方买东西又回到西镇,共用1小时),这样两人所行总路程应为:

  90×2+30=210(千米),又因两人速度和为30+10=40(千米),故可求得相遇时间为:(210÷40=)5.25(小时),则乙行了(10×5.25=)52.5(千米)。

例4 快慢两车同时从甲乙两站相对开出,6小时相遇,这时快车离乙站还有240千米,已知慢车从乙站到甲站需行15小时,两车到站后,快车停留半小时,慢车停留1小时返回,从第一次相遇到返回途中再相遇,经过多少小时?

解法一 240÷6=40(千米)(慢车速度)

  40×15=600(千米)(甲乙两站距离)

  (600-240)÷6=60千米(快车速度)

  快车第一次相遇后继续前进至乙站,又开了(240÷60=)4(小时),连停留时间共用了4.5小时。

  慢车第一次相遇后,向前开了4.5小时,应行(40×4.5=180(千米),到A处,这样慢车距离甲站还有(600-240-180=)180(千米),如继续开到甲站,加上停留时间,还要用(180÷40+1=)5.5(小时)。

  在这5.5小时中,快车又从乙站返回开至B处,距甲站为(600-60×5.5=)270(千米)。

  这时就相当于两车从相距270千米的两地(甲站和B处)同时相向开出,则可求出其相遇时间为:270÷(60+40)=2.7(小时)

  最后,求得慢车从第一次相遇到返回途中再相遇所经过的时间为(4.5+5.5+2.7=)12.7(小时),即为问题所要求的。

解法二 根据往返相遇问题的特征可知,从第一次相遇到返回途中再相遇,两车共行的路程为甲乙两站距离的2倍,再根据例3解法二的设想方法,即假设快车不在乙站停留0.5小时,慢车不在甲站停留1小时,则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为600×2+60×0.5+40×1=1270(千米),故此期间所经时间为1270÷(60+40)=12.7(小时)

  通过以上几例分析,不难看出解法二甚为简便,这是由于灵活运用往返行程问题的基本特征所致。

百科词条:行程问题

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