奥数网 奥数福州站 > 奥数题库 > 五年级奥数题及答案 > 正文

旋转的线段

来源:网友投稿 文章作者:郜舒竹 2011-07-28 15:43:41

我们可以想象平面上有一条会运动的线段,不同的运动方式它所扫过的图形当然是不同的。比如平行移动可以扫过一个矩形。这一讲我们重点研究一条线段绕一个固定点旋转的情况。问题1如图1,线段AB的长度为1厘米,那么画

我们可以想象平面上有一条会运动的线段,不同的运动方式它所扫过的图形当然是不同的。比如平行移动可以扫过一个矩形。这一讲我们重点研究一条线段绕一个固定点旋转的情况。

问题1 如图1,线段AB的长度为1厘米,那么画出这条线段分别绕A点和B点按顺时针方向旋转90°所扫过的图形,并求出相应图形的面积。

 

  

 

问题2 如图3ABCD是一个长为4,宽为3,对角线长度为5的长方形。它绕C点按顺时针方向旋转90°,分别求出四条边扫过图形的面积。

  我们可以先画出旋转后的图形(如图4)。

  首先容易发现DC边和BC边旋转后扫过的图形

  因此,DC边扫过图形的面积为4π平方厘米,BC边扫过图形的面积

 

  在整个AB边上,距离C点最近的点是B点,最远的点是A点,因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间,见图6中阴影部分:

  下面我们来求这部分的面积。

  观察图形可以发现,所求阴影部分的面积实际上是:

  (扇形ACA面积+三角形ABC面积)-(三角形ABC面积+扇形BCB面积)

  =扇形ACA面积-扇形BCB面积

  

  =4π

  下面再来研究AD边扫过的图形。

  由于在整条线段上距离C点最远的点是A,最近的点是D,所以我们可以画出AD边扫过的图形,如图7阴影部分所示:

  用与前面同样的方法可以求出面积为:

  

  解决此类问题的关键是能够相对准确地画出图形。

问题3 如图8是一个等腰直角三角形ABC,直角边长度为1,将整个三角形绕C点顺时针旋转90°,求斜边扫过图形的面积。

  先画出旋转后的图形(如图9):

  可以看出,距离C点最远的点是A点和B点,最近的点是AB边的中点D,因此我们可以画出AB边扫过的图形,如图10阴影部分:

  下面来求这部分的面积:

  我们可以把所求面积的部分分为两个部分,两个弓形的面积为:

  

  

  

  因此所求部分的面积就是:

  

  同学们可以进一步思考,比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等,此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的。

百科词条:旋转 图形 扇形 三角形

我要投稿