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抓主干?降次分?巧数零

来源:网友投稿 2011-07-28 15:43:26

[标签:因数]
计算若干个连续自然数乘积末尾零的个数是一类常见的题,也是失分率较高(易产生漏数零的个数)的趣味赛题。那么,如何准确、迅速,不重不漏的数出乘积的末尾零的个数?抓主干、巧转化,降次分离是方法。请看:例1在
计算若干个连续自然数乘积末尾零的个数是一类常见的题,也是失分率较高(易产生漏数零的个数)的趣味赛题。那么,如何准确、迅速,不重不漏的数出乘积的末尾零的个数?抓主干、巧转化,降次分离是方法。请看:

  例1 在算式11×20×29×…×2000中,相邻两个因数的差都等于9。那么,这个乘积的末尾连续的零的个数共有多少个?

  分析由于一个2与一个5配对相乘,就会使乘积末尾出现一个零(2×5=10)。因此,乘积的末尾连续的零的个数取决于乘积中因数2的个数及因数5的个数。

  由题知,算式中共有(2000-11)÷9+1=222个因数。其中奇、偶因数各占一半,而且相邻两个因数的差都为9,含有5因子的相邻两个因数的差都为(9×5=)45(如20、65、110等)。很显然因数2的个数是足够多的。只要我们抓主干的主干,作大化小、多化少的转化,将因数末尾是0、5的数从算式中分离出来计数:20、65、110、……、1955、2000中含有多少个因数5,问题即可获解。

  解 ①11×20×29×38×…2000↓

  20×65×110×…×1955×2000(共有(2000-20)÷45+1=45个因数,每个因数中分出一个5,可分出45个5。)

  =545×(4×13×22×…×391×400);↓

  ②40×85×…×355×400

  (共(400-40)÷45+1=9个因数,每个因数中分出一个5,可分出9个5。)

  =59×(8×17×26×35×…×80);↓

  ③35×80=52×(7×16)

  (此时只有2个因数且只含有2个5因子。)↓

  综合以上3次分离计数积中共含有因数5为:45+9+2=56(个)。

  从而乘积末尾有56个连续的零。

  例2 一串数1、4、7、10、……、697、700的规律是:第一个数是1,以后的每一个数都等于它前面的一个数加3,直到700为止。将所有这些数相乘试求出所得数的尾部零的个数。

  解由题知1、4、7、10、……、697、700这一串数中,含5因子的数(除前3个1、4、7)每隔(3×5=)15个有一个,可分离列举如下:

  ①1×4×7×10×…×697×700

  10×25×40×…×685×700 ↓

  (共(700-10)÷15+1=47个因数,每个因数分出1个5,可分出47个5)

  =547×(2×5×8×…×137×140); ↓

  ②5×20×35×…×140

  (共(140-5)÷15+1=10个因数,每个因数分出1个5,可分出10个5。)

  =510×(1×4×7×…×28)↓

  ③10×25这两个因数每个也可分出1个5,可分出2个5。↓

  =52×(2×5) ↓

  ④5此时只有1个5因子。

  以上四次全部分出积中含有(47+10+2+1=)60个5因子。于是,1×4×7×10×…×697×700的积的

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