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几何竞赛题的特殊解法

来源:网友投稿 2011-07-28 15:43:26

几何形体知识是小学数学的重要内容,对常规的几何题学生比较容易解答,但是对有一定难度的竞赛题,指导学生解题时,要引导学生认真地观察图形的形状、位置,抓住图形的主要特征,选择适当的方法进行分析,思考,从而
几何形体知识是小学数学的重要内容,对常规的几何题学生比较容易解答,但是对有一定难度的竞赛题,指导学生解题时,要引导学生认真地观察图形的形状、位置,抓住图形的主要特征,选择适当的方法进行分析,思考,从而找出解决问题的途径。

  一、等量代换法

  例1 如图1,已知三角形ABC的面积为56平方厘米,是平行四边形DEFC的2倍。求阴影部分的面积。

  分析从所给的条件来看,不知道△ADE任何一条边及其所对应的高,因此很难直接求出△ADE的面积。只能从已知面积的部分与所求图形面积之间的关系来着手分析。由题意可知四边形DEFC为平行四边形,所以连接E、C点,△DEC的面积为平行四边形面积的一半。根据同底等高的三角形面积相等,可知△AED与△DEC的面积相等,而△DEC的面积等于平行四边形面积的一半,因此,△ADE的面积也等于平行四边形面积的一半。问题即可解决。

  列式:56÷2÷2=14(平方厘米)

  二、转化法

  例2 如图2,四边形ABCD为长方形,BC=15厘米,CD=8厘米,三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米,求DE的长。

  (第三届小学生数学报竞赛决赛题)

  分析把三角形ABF和三角形DEF分别加上四边形BCDF,那么它们分别转化成长方形ABCD和三角形BCE。根据三角形ABF比三角形DEF的面积大30平方厘米,把它们分别加上四边形BCDF后,即转化成长方形ABCD比三角形BCF的面积大30平方厘米。先求出三角形BCE的面积,根据三角形的面积和BC的长度,求出CE的长度,DE的长度即可求出。列式:(15×8-30)×2÷15-8=4(平方厘米)

  三、假设法

  例3 图3中长方形的面积为35平方厘米,左边直角三角形的面积为5平方厘米,右上角三角形的面积为7平方厘米,那么中间三角形(阴影部分)的面积是____平方厘米。

  (1996年小学数学奥林匹克竞赛初赛B卷题)

  分析因为长方形的面积为35平方厘米,不妨假设AB=5厘米,AD=7厘米,因为S△ABE=5平方厘米,所以BE=5×2÷5=2厘米,EC=7-2=5厘米,同理:DF=7×2÷5=2厘米,CF=5-2=3厘米,那么S△ECF=5×3÷2=7.5厘米,阴影部分面积即可求出。列式:35-(7+5+7.5)=15.5(平方厘米)

  四、巧用性质

  例4 如图4,三角形ABC是直角三角形,已知阴影(Ⅰ)的面积比阴影(Ⅱ)的面积小23平方厘米,BC的长度是多少?(π=3.14)

  (北京市第三届迎春杯数学竞赛试题)

  分析此题初看似乎无法解答,因为阴影部分(Ⅰ)、(Ⅱ)都是不规则图形,但仔细观察,不难看出,阴影(Ⅰ)是半圆的一部分,阴影(Ⅱ)是三角形ABC的一部分,根据“差不变的性质”可以把(Ⅰ)和(Ⅱ)分别加(Ⅲ),分别得到半圆和△ABC,它们的面积差不变,这样就可以求出三角

  ×

  2÷20=18(厘米)

  五、参数法

  例5 将图5(a)中的三角形纸片沿着虚线折叠的粗实图形面积(图b)与原三角形的面积比为2∶3,已知图(b)中三个画阴影的三角形面积之和为1,那么重叠部分的面积为______。

  (1988年北京市小学数学邀请赛复赛题)

  分析图b中重叠部分是不规则的四边形,很难直接求出它的面积。从图b中可以观察阴影部分面积加上空白部分面积的2倍等于原三角形的面积,实线部分的面积应为空白部分面积加上1,根据这一等量关系可以列方程。设空白部分面积为x,(x+1)∶(2x+1)=2∶3,x=1。

  六、用比例解

  例6 如图6,四边形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、丁四部分,已知BE=60厘米,CE=40厘米,DE=30厘米,AE=80厘米。问丙、丁两个三角形的面积之和是甲、乙两个三角形的面积之和多少倍?(第三届华罗庚金杯赛决赛题)

  分析从图中可以看出甲、丁都在△ADC中,所以两个三角形的高相等,乙和丁都在△ABC中,所以两个三角形的高也相等。根据高相等的两个三角形的面积比等于底边长之比,那么:

  S∶S=AE∶EC=80∶40=2∶1S=2S丁

  S∶S=BE∶DE=60∶30=2∶1S=2S丁

  S+S=4S

  S∶S=BE∶DE=60∶30=2∶1S=2S=4S

  所以,(S+S)∶(S+S

  =(4S+S)∶(S+S)=5S÷4S

  

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