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(上册)第二讲 速算与巧算(四)

来源:网络资源 文章作者:匿名 2011-07-28 15:35:50

例1比较下面两个积的大小:A=987654321123456789,B=987654322123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1,但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经

例1 比较下面两个积的大小:

  A=987654321×123456789,

  B=987654322×123456788.

  分析 经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1,但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算,凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B,直接把两个因数相乘求积又太繁,所以我们开动脑筋,将A和B先进行恒等变形,再作判断.

  解: A=987654321×123456789

   =987654321×(123456788+1)

   =987654321×123456788+987654321.

  B=987654322×123456788

   =(987654321+1)×123456788

   =987654321×123456788+123456788.

  因为 987654321>123456788,所以 A>B.

例2 不用笔算,请你指出下面哪道题得数最大,并说明理由.

  241×249 242×248 243×247

  244×246 245×245.

  解:利用乘法分配律,将各式恒等变形之后,再判断.

  241×249=(240+1)×(250—1)=240×250+1×9;

  242×248=(240+2)×(250—2)=240×250+2×8;

  243×247=(240+ 3)×(250— 3)= 240×250+3×7;

  244×246=(240+4)×(250—4)=240×250+4×6;

  245×245=(240+5)×(250— 5)=240×250+5×5.

  恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250,又有不同的部分 1×9, 2×8, 3×7, 4 ×6, 5×5,由此很容易看出 245×245的积最大.

  一般说来,将一个整数拆成两部分(或两个整数),两部分的差值越小时,这两部分的乘积越大.

  如:10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5

  则5×5=25积最大.

例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.

  解:五个数中,后一个数都比前一个数大10,可看出1986是这五个数的平均值,故其总和为:

  1986×5=9930.

例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数,如果五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个.

  解:五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5=64,因相邻偶数相差2,故这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.

  总结以上两题,可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数,中间一个数为首末两数的平均值;五个连续自然数,中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显,这五个数可以记作:x-2、x—1、x、x+1、x+2.如此类推,对于奇数个连续自然数,最中间的数是所有这些自然数的平均值.

  如:对于2n+1个连续自然数可以表示为:x—n,x—n+1,x-n+2,…, x—1, x, x+1,…x+n—1,x+n,其中 x是这2n+1个自然数的平均值.

  巧用中数的计算方法,还可进一步推广,请看下面例题.

例5 将1~1001各数按下面格式排列:

   

  一个正方形框出九个数,要使这九个数之和等于:

  ①1986,②2529,③1989,能否办到?如果办不到,请说明理由.

  解:仔细观察,方框中的九个数里,最中间的一个是这九个数的平均值,即中数.又因横行相邻两数相差1,是3个连续自然数,竖列3个数中,上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.

  ①1986不是9的倍数,故不行;

  ②2529÷9=281,是9的倍数,但是281÷7=40×7+1,这说明281在题中数表的最左一列,显然它不能做中数,也不行;

  ③1989÷9=221,是9的倍数,且221÷7=31×7+4,这就是说221在数表中第四列,它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的,且最大的数是229,最小的数是213.

  这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们,小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢!所以平时要注意观察,认真思考,积累巧算经验.

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