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第十二讲 巧填算符(二)

来源:网络资源 文章作者:匿名 2011-07-28 15:29:27

例1在+、-、、、()中,挑出合适的符号,填入下面的数字之间,使算式成立。①987654321=1②987654321=1000分析这两道题等号左边的数字各不相同,且从大到小排列,题目要求在每个数字之间都要填上运算符号,这是解

例1 在+、-、×、÷、()中,挑出合适的符号,填入下面的数字之间,使算式成立。

  ① 9 8 7 6 5 4 3 2 1=1

  ② 9 8 7 6 5 4 3 2 1=1000

  分析 这两道题等号左边的数字各不相同,且从大到小排列,题目要求在每个数字之间都要填上运算符号,这是解题中要注意到的。

  ①中,等号右边的得数是最小的自然数1,而等号左边共有九个数字。

  先考虑用逆推法:由于等号左边最后一个数字恰好是1,与等号右边相同,所以,可以考虑在1的前面添“+”号,这样如果前面8个数字的运算结果是0就可以了,观察注意到,前面8个数字每一个数都比它前面一个数小1,这样,只要把它们分成4组,每两数相减都得1,在两组的前面添“+”号,两组的前面添“-”号,即得到:

  (9-8)+(7-6)-(5-4)-(3-2)=0

  或(9-8)-(7-6)+(5-4)-(3-2)=0

  于是得到答案:

  9-8+7-6-(5-4)-(3-2)+1=1

  或9-8-(7-6)+5-4-(3-2)+1=1

  再考虑用凑数法:注意到等号左边每一个数都比前一个数小1,所以,只要在最前面凑出一个1,其余的凑出0即可,事实上,恰有

  9-8+7-6-(5-4)+(3-2)-1=1

  凑数法的解答还有很多,请同学们试一试其他的凑法。

  ②中,等号右边是一个较大的自然数1000,而等号左边要在每两个数字之间添上运算符号,考虑用凑数法。

  由于等号右边是1000,所以,运算结果应由个位是5或0的数与一个偶数的乘积得到。

  如果这个偶数是8,则在8的左、右两边都应该添“×”号,而9×8=72,而1000÷72不是整数.所以,无论在7 65 4 3 2 1之间怎样添算符,都不能得到所要的答案。

  如果这个偶数是6,由于1000÷6不是整数,所以,不能得到所要的结果。

  如果这个偶数是4,那么在4的两边都应该添“×”号,即有:

  9 8 7 6 5×4×3 2 1=1000.在4的右边只有添为4×(3-2)×1才有可能使左边的算式得1000,这时,必须有9 8 7 6 5=250,经过试验知,无论怎样添算符,都不能使上面的算式成立.所以,这个偶数不能是4。

  如果这个偶数是2,那么,在2的两边都应该添“×”号,即有9 8 7 6 5 4 3×2×1=1000.只要添适当的算符,使9 8 7 6 5 4 3的计算结果是500即可.再用凑数法,注意到9×8×7=504,与500很接近,只要能用6 5 4 3凑出“-”4即可.事实上,6+5-4-3=4,所以只需

  9×8×7-(6+5-4-3)

  即9×8×7-6-5+4+3=500

  这样,得到本题的答案是:

  (9×8×7-6-5+4+3)×2×1=1000

  ②题还可以综合运用逆推法和凑数法:由于等号右边是1000,所以,等号左边1的前面只能添“×”或“÷”号(事实上,“×1”与“÷1”结果是相同的),由于等号右边的得数较大,考虑在2的前面添“×”号,于是9 8 7 6 5 4 3应凑出500,再用与上面相同的凑数法即可解决。

  解:本题的答案是:

  ① 9-8+7-6-(5-4)-(3-2)+1=1

  或9-8-(7-6)+5-4-(3-2)+1=1

  或9-8+7-6-(5-4)+(3-2)-1=1

  ②(9×8×7-6-5+4+3)×2×1=1000

  补充说明:本题的结果不只一个,一般来讲,填算符的问题只要得到一个答案就可以了.但是我们应该通过解题的各种方法,开阔我们的思路.所以,一题多解在我们解题中占有很重要的地位。

  值得注意的是,虽然添算符的方法被归结为逆推法和凑数法,但它们的运用往往不是孤立的,在求解过程中,常常要将它们结合起来。

例2 在下列算式中合适的地方,添上+、-、×、÷、()等运算符号,使算式成立。

  ①6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6=1993

  ②2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2=1993

  分析 本题中两道小题的共同特点是:等号左边的数字比较多,且都相同,而等号右边的数是1993,比较大.所以,考虑用凑数法,在等号左边凑出与1993较接近的数.

  ①题中,666+666+666=1998,比1993大5,只要用余下的七个6凑成5就可以了,即6 6 6 6 6 6 6=5.如果把最前面一个6留下来,则只须将剩下的六个6凑成1,即6 6 66 6 6=1,注意到6÷6=1,6-6=0,可以这样凑 6÷6+6-6+6-6=1,或666÷666=1。由于题目中要由1998中减掉5,所以最后的答案是:

  666+666+666-(6-6÷6+6-6+6-6)=1993

  或者666+666+666-(6-666÷666)=1993

  ②题中,等号左边是十二个2,比①题中的数字6小,个数也比①中的少.所以,要把它们也凑成1993,应该增大左边的数,也就是要多用乘法,仿照①题的想法,先凑出1998,可以这样做:

  222×(2+2÷2)×(2+2÷2)=1998

  用去了九个2,余下三个2,无论怎样也凑不出5,不行.所以要减少前面用去2的个数,由于222×9=1998,所以,我们要用几个2凑出9,即:

  2×2×2+2÷2,这样,凑出1998共用去了八个2,即222×(2×2×2+2÷2).此时,还剩下四个2,用四个2凑出5是可以的,即2+2+2÷2=5.这样得到答案为:

  222×(2×2×2+2÷2)-(2+2+2÷2)=1993

  解:① 666+666+666-(6-6÷6+6-6+6-6)

  =1993

  或者 666+666+666-(6-666÷666)=1993

  ② 222×(2×2×2+2÷2)-(2+2+2÷2)=1993

  补充说明:由例2的思考过程可以看到,在添运算符号时常要用到0或1,而对于相同的数(不同的数可以通过运算凑成相同的数),要想得到0,只要在它们中间添“-”号;要想得到1,只要在它们中间添“÷”号,0和1是添算符凑等式的过程中常用的非常重要的数。

例3 在下面的式子里加上()和[],使它们成为正确的等式。

  ①217-49×8+112÷4-2=89

  ②217-49×8+112÷4-2=1370

  ③217-49×8+112÷4-2=728

  分析 本题只要求添括号,而括号在四则运算中的作用是改变运算的先后顺序,即由原来的“先乘除,后加减”改为先做()中的运算,再做[]中的运算,然后再按四则运算法做.所以,一般来讲,括号应加在“+”、“-”运算的部分。

  这道题中的三道小题等号左边完全相同,而右边是不同的数,注意到49×8=392,所以,括号不可能添在(217-49×8)上,而且每一道小题都要把217后面的减数缩小。

  ①题中,等号右边的数比较小,所以应考虑用217减去一个较大的数,并且这个数得小于217,最好是一百多,注意到49×8+112=504,而504÷4=126.恰有217-126=91,91-2=89,即可得到答案:

  217-(49×8+112)÷4-2=89

  ②题中,等号右边的数比较大,所以在减小217后面的减数的同时,要注意把整个算式的得数增大,这可以通过增大乘法中的因数或减小除法中的除数实现.如果这样做:

  (217-49)×8,则既减小了减数,又增大了因数,计算知:(217-49)×8=1344.算式中得数是1370.注意到剩下的部分112÷4-2=26相加恰好得到答案:

  (217-49)×8+112÷4-2=1370

  ③题中,等号右边的数介于①题与②题之间,所以,放大和缩小的程度也要适当,由②题的计算知:

  (217-49)×8=1344,③题的得数是728,而算式左边还有+112÷4-2,观察发现,1344+112=1456,1456÷2=728。

  这样可以得到③题的答案是:

  [(217-49)×8+112]÷(4-2)=728

  解:① 217-(49×8+112)÷4-2=89

  ②(217-49)×8+112÷4-2=1370

  ③[(217-49)×8+112]÷(4-2)=728

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