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(上册)第十一讲 巧填算符(一)

来源:网络资源 文章作者:匿名 2011-07-28 15:25:53

所谓填算符,就是指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号(包括括号),从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。在填算符的问题中,所填的算符包括+、-、、、()、[]、{}。解决这类问题常用两种基本

  所谓填算符,就是指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号(包括括号),从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。

  在填算符的问题中,所填的算符包括+、-、×、÷、()、[]、{}。

  解决这类问题常用两种基本方法:一是凑数法,二是逆推法,有时两种方法并用。

  凑数法是根据所给的数,凑出一个与结果比较接近的数,然后,再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少,从而使等式成立。

  逆推法常是从算式的最后一个数字开始,逐步向前推想,从而得到等式。

例1 在下面算式适当的地方添上加号,使算式成立。

  8 8 8 8 8 8 8 8=1000

  分析 要在八个8之间只添加号,使和为1000,可先考虑在加数中凑出一个较接近1000的数,它可以是888,而888+88=976,此时,用去了五个8,剩下的三个8应凑成1000-976=24,这只要三者相加就行了。

  解:本题的答案是

  888+88+8+8+8=1000

例2 在下列算式中合适的地方添上+、-、×,使等式成立。

  ① 9 8 7 6 5 4 3 2 1=1993

  ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9=1993

  分析 本题的特点是所给的数字比较多,而得数比较大,这种题目一般用凑数法来做,在本题中应注意可使用的运算符号只有+、-、×。

  ①中,654×3=1962,与结果1993比较接近,而1993-1962=31,所以,如果能用9 8 7 2 1凑出31即可,而最后两个数合在一起是21,那么只需用9 8 7凑出10,显然,9+8-7=10,就有:

  9+8-7+654×3+21=1993

  ②中,与1993比较接近的是345×6=2070.它比1993大77,现在,剩下的数是1 2 7 8 9,如果把7、8写在一起,成为78,则无论怎样,前面的1、2和最后的9都不能凑成1.注意到8×9=72,而7+8×9=79,1×2=2,79-2=77.所以这个问题可以如下解决:

  1×2+345×6-7-8×9=1993。

  解:本题的答案是:

  ① 9+8-7+654×3+21=1993;

  ② 1×2+345×6-7-8×9=1993。

例3 在下面算式合适的地方添上+、-、×号,使等式成立。

  3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3=1992

  分析 本题等号左边数字比较多,右边得数比较大,仍考虑凑数法,由于数字比较多,在凑数时,应多用去一些数,注意到333×3=999,所以333×3+333×3=1998,它比1992大6,所以只要用剩下的八个3凑出6就可以了,事实了,3+3+3-3+3-3+3-3=6,由于要减去6,则可以这样添:333×3+333×3-3-3+3-3+3-3+3-3=1992。

  解:本题的一个答案是:

  333×3+333×3-3-3+3-3+3-3+3-3=1992。

  补充说明:前面例1至例3中,它们的特点是等号左边的数比较多,而等号右边的数比较大,这种问题一般用凑数法解决比较容易。

例4 在下面算式合适的地方添上+、-、×,使等式成立。

  1 2 3 4 5 6 7 8=1

  分析 这道题的特点是等号左边的数字比较多,而等号右边的得数是最小的自然数1,可以考虑在等号左边最后一个数字8的前面添“-”号。

  这时,算式变为:1 2 3 4 5 6 7-8=1

  只需让1 2 3 4 5 6 7=9就可以了,考虑在7的前面添“+”号,则算式变为1 2 3 4 5 6+7=9,只需让1 2 3 4 5 6=2就可以了,同开始时的想法,在6的前面添“-”号,算式变为1 23 4 5-6=2,这时只要1 2 3 4 5=8即可.同样,在5前面添“+”号,则只需1 2 3 4=3即可.观察发现,只要这样添:1+2×3-4=3就得到本题的一个解为1+2×3-4+5-6+7-8=1。

  解:本题的一个答案是:

  1+2×3-4+5-6+7-8=1

  补充说明:一般逆推法常限于数字不太多(如果太多,推的步骤也会太多),得数也比较小的题目,如例4.在解决这类问题时,常把逆推法和凑数法结合起来使用,我们称之为综合法.所以,在解决这类问题时,把逆推法和凑数法综合考虑更有助于问题的解决。

例5 在下面算式中合适的地方,只添两个加号和两个减号使等式成立。

  1 2 3 4 5 6 7 8 9=100

  分析 在本题条件中,不仅限制了所使用运算符号的种类,而且还限制了每种运算符号的个数。

  由于题目中,一共可以添四个运算符号,所以,应把1 23 4 5 6 7 8 9分为五个数,又考虑最后的结果是100,所以应在这五个数中凑出一个较接近100的,这个数可以是123或89。

  如果有一个数是123,就要使剩下的后六个数凑出23,且把它们分为四个数,应该是两个两位数,两个一位数.观察发现,45与67相差22,8与9相差1,加起来正巧是23,所以本题的一个答案是:

  123+45-67+8-9=100

  如果这个数是89,则它的前面一定是加号,等式变为1 2 3 4 5 6 7+89=100,为满足要求,1 2 3 4 5 6 7=11,在中间要添一个加号和两个减号,且把它变成四个数,观察发现,无论怎样都不能满足要求。

  解:本题的一个答案是:

  123+45-67+8-9=100

  补充说明:一般在解题时,如果没有特别说明,只要得到一个正确的解答就可以了。

  在例5这类限制比较多的题目的解决过程中,要时时注意按照题目的要求去做,由于题目的要求比较高,所以解决的方法比较少。

例6 在下列算式中合适的地方,添上()[],使等式成立。

  ① 1+2×3+4×5+6×7+8×9=303

  ②1+2×3+4×5+6×7+8×9=1395

  ③1+2×3+4×5+6×7+8×9=4455

  分析 本题要求在算式中添括号,注意到括号的作用是改变运算的顺序,使括号中的部分先做,而在四则运算中规定“先乘除,后加减”,要改变这一顺序,往往把括号加在有加、减运算的部分。

  题目中三道小题的等号左边完全相同,而右边的得数一个比一个大.要想使得数增大,可以让加数增大或因数增大,这是考虑本题的基本思想。

  ①题中,由凑数的思想,通过加( ),应凑出较接近303的数,注意到1+2×3+4×5+6=33,而33×7=231.较接近303,而231+8×9=303,就可得到一个解为:

  (1+2×3+4×5+6)×7+8×9=303

  ②题中,得数比①题大得多,要使得数增大,只要把乘法中的因数增大.如果考虑把括号加在7+8上,则有6×(7+8)×9=810,此时,前面1+2×3+4×5无论怎样加括号也得不到1395-810=585.所以这样加括号还不够大,可以考虑把所有的数都乘以9,即(1+2×3+4×5+6×7+8)×9=693,仍比得数小,还要增大,考虑将括号内的数再增大,即把括号添在(1+2)或(3+4)或(5+6)或(7+8)上,试验一下知道,可以有如下的添加法:

  [(1+2)×(3+4)×5+6×7+8]×9=1395

  ③题的得数比②题又要大得多,可以考虑把(7+8)作为一个因数,而1+2×3+4×5+6×(7+8)×9=837,还远小于4455,为增大得数,试着把括号加在(1+2×3+4×5+6)上,作为一个因数,结果得33,而33×(7+8)×9=4455.这样,得到本题的答案是:

  (1+2×3+4×5+6)×(7+8)×9=4455

  解:本题的答案是:

  ①(1+2×3+4×5+6)×7+8×9=303

  ②[(1+2)×(3+4)×5+6×7+8]×9=1395

  ③(1+2×3+4×5+6)×(7+8)×9=4455

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