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(上册)第四讲 植树与方阵问题

来源:网络资源 文章作者:匿名 2011-07-28 15:25:53

[标签:三角形]
一、植树问题要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题,首先要牢记三要素:①总路线长.②间距(棵距)长.③棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。关于植树的路线,有封闭与不封闭两种路线。

  一、植树问题


  要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题,首先要牢记三要素:①总路线长.②间距(棵距)长.③棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。

  关于植树的路线,有封闭与不封闭两种路线。

  1.不封闭路线

  例:如图


  ① 若题目中要求在植树的线路两端都植树,则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段,但植树棵数是6棵。

  全长、棵数、株距三者之间的关系是:

  棵数=段数+1=全长÷株距+1

  全长=株距×(棵数-1)

  株距=全长÷(棵数-1)

  ② 如果题目中要求在路线的一端植树,则棵数就比在两端植树时的棵数少1,即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为:

  全长=株距×棵数;

  棵数=全长÷株距;

  株距=全长÷棵数。

  ③ 如果植树路线的两端都不植树,则棵数就比②中还少1棵。


  棵数=段数-1

  =全长÷株距-1.如右图所示.段数为5段,植树棵数为4棵。

  株距=全长÷(棵数+1)。

  2.封闭的植树路线


  例如:在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树,因为头尾两端重合在一起,所以种树的棵数等于分成的段数。如右图所示。

  棵数=段数=周长÷株距.

  二、方阵问题


  学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列.如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题)。

  方阵的基本特点是:

  ① 方阵不论在哪一层,每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层,每边上的人数就少2。

  ② 每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系:

  四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4;

  每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1。

  ③ 中实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数×每边人(或物)数。

例1 有一条公路长900米,在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆,可栽多少根电线杆?

  分析 要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆,所以电线杆的根数比分成的段数多1。

  解:以10米为一段,公路全长可以分成

  900÷10=90(段)

  共需电线杆根数:90+1=91(根)

  答:可栽电线杆91根。

例2 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米?

  分析 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了;只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.

  解:5分钟汽车共走了:

  9×(501-1)=4500(米),

  汽车每分钟走:4500÷5=900(米),

  汽车每小时走:

  900×60=54000(米)=54(千米)

  列综合式:

  9×(501-1)÷5×60÷1000=54(千米)

  答:汽车每小时行54千米。

例3 某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有五年级学生多少人?

  分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知:

  每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

  解:方阵最外层每边人数:60÷4+1=16(人)

  整个方阵共有学生人数:16×16=256(人)

  答:方阵最外层每边有16人,此方阵中共有256人。

例4 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个?

  分析 方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个,就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数,就可以求出各层总数。

  解:最外边一层棋子个数:(14-1)×4=52(个)

  第二层棋子个数:(14-2-1)×4=44(个)

  第三层棋子个数:(14-2×2-1)×4=36(个).

  摆这个方阵共用棋子:

  52+44+36=132(个)

  还可以这样想:

  中空方阵总个数=(每边个数一层数)×层数×4进行计算。

  解:(14-3)×3×4=132(个)

  答:摆这个方阵共需132个围棋子。

例5 一个圆形花坛,周长是180米.每隔6米种一棵芍药花,每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药?多少棵月季?两棵月季之间的株距是多少米?

  分析 ①在圆形花坛上栽花,是封闭路线问题,其株数=段数.② 由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季,则每6米之中共有3棵花,且月季花棵数是芍药的2倍。

  解:共可栽芍药花:180÷6=30(棵)

  共种月季花:2×30=60(棵)

  两种花共:30+60=90(棵)

  两棵花之间距离:180÷90=2(米)

  相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花,所以月季花的株距是2米或4米。

  答:种芍药花30棵,月季花60棵,两棵月季花之间距离为2米或4米。

例6 一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花?整个花园中共栽多少棵花?


  分析 ①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株, 则大三角形边上栽的棵数为

  9×2-1=17(棵)。

  ② 又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的,所以大三角形三条边上共栽花

  (17-1)×3=48(棵)。

  ③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次,所以小三角形每条边上栽花棵数为9-2=7(棵)

  解:大三角形三条边上共栽花:

  (9×2-1-1)×3=48(棵)

  中间画斜线小三角形三条边上栽花:

  (9-2)×3=21(棵)

  整个花坛共栽花:48+21=69(棵)

  答:大三角形边上共栽花48棵,整个花坛共栽花69棵。

百科词条:三角形

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