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第十讲 枚举法

来源:网络资源 文章作者:匿名 2011-07-28 15:10:29

[标签:枚举法]
例1如右图所示,ABCD是一个正方形,边长为2厘米,沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米.问这样的最短路线共有多少条?请一一画出来.解:将各种路线一一列出,可知共6条,见下图.注意,如果题中不要求将路径一一画出

    例1 如右图所示,ABCD是一个正方形,边长为2厘米,沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米.问这样的最短路线共有多少条?请一一画出来.

  解:将各种路线一一列出,可知共6条,见下图.

  注意,如果题中不要求将路径一一画出,可采用如右图所示方法较为便捷.图中交点处的数字表示到达该点的路线条数,如O点处的数字2,表示由A到O有2条不同的路径,见上图中的(1)和(2);又H点处的数字3的意义也如此,见上图中的(1)、(2)、(3)可知有3条路径可由A到H.仔细观察,可发现各交点处的数字之间的关系,如O点的2等于F点和E点的数字相加之和,即1+1=2,又如,C点的6等于G点和H点的数字相加之和,即3+3=6.

  例2 在10和31之间有多少个数是3的倍数?

  解:由尝试法可求出答案:

  3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=21

  3×8=24 3×9=27 3×10=30

  可知满足条件的数是 12、15、18、21、24、27和30共7个.

  注意,倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数,则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了,此时可采用下述方法:

  10÷3=3余1,可知10以内有3个数是3的倍数;

  1000÷3=333余1,可知1000以内有333个数是3的倍数;

  333-3=330,则知10~1000之内有330个数是3的倍数.

  由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围.

  例3 两个整数之积为144,差为10,求这两个数?

  解:列出两个数积为144的各种情况,再寻找满足题目条件的一对出来:

   1 2 3 4 6 8 9 12

  144 72 48 36 24 18 16 12

  可见其中差是10的两个数是8和18,这一对数即为所求.

百科词条:枚举法

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