第五讲 一笔画问题

　　一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）

　　这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图）

　　经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：

　　如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？

　　能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？

　　先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了.

　　首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等.

　　其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图）

　　（1）两个点，一条线.

　　每个点都只与一条线相连.

　　（2）三个点.

　　两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连.

　　第一组的两个图都能一笔画出来.

　　（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）

　　（1）五个点，五条线.

　　A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.

　　（2）六个点，七条线.（“日”字图）

　　A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.

　　第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）.

　　第三组（见下图）

　　（1）四个点，三条线.

　　三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连.

　　（2）四个点，六条线.

　　每个点都与三条线相连.

　　（3）五个点，八条线.

　　点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连.

　　第三组的三个图形都不能一笔画出来.