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第四讲 数与形相映

来源:网络资源 文章作者:匿名 2011-07-28 15:10:05

[标签:三角形]
形和数的密切关系,在古代就被人们注意到了.古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子.例1最初的数和最简的图相对应.这是古希腊人的观点,他们说一切几何图形都是由数产生的.例2我国在春秋战国时代就有了洛图(见下

  形和数的密切关系,在古代就被人们注意到了.古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子.

  例1 最初的数和最简的图相对应.

  

  这是古希腊人的观点,他们说一切几何图形都是由数产生的.

  例2 我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图).图中也是用“圆点”表示数,而且还区分了偶数和奇数,偶数用实心点表示,奇数用空心点表示.你能把这张图用自然数写出来吗?见下图所示,这个图又叫九宫图.

  例3 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘.比如他把1,3,6,10,15,…叫做三角形数.因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形,见下图.

  毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律,发现每一个三角形数,都可以写成从1开始的n个自然数之和,最大的自然数就是三角形底边圆点的个数.

  第一个数:1=1

  第二个数:3=1+2

  第三个数:6=1+2+3

  第四个数:10=1+2+3+4

  第五个数:15=1+2+3+4+5

  …

  第n个数:1+2+3+4+5+…+n

 

指定的三角形数.比如第100个三角形数是:

  例4 毕达哥拉斯还发现了四角形数,见下图.因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形,因此它们最受

毕达哥拉斯及其弟子推崇.

  第一个数:1=12=1

  第二个数:4=22=1+3

  第三个数:9=32=1+3+5

  第四个数:16=42=1+3+5+7

  第五个数:25=52=1+3+5+7+9

  …

  第n个数:n2=1+3+5+9+…+(2n-1).

  四角形数(又叫正方形数)可以表示成自然数的平方,也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和.奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数.

  例5 类似地,还有四面体数见下图.

  仔细观察可发现,四面体的每一层的圆点个数都是三角形数.因此四面体数可由几个三角形数相加得到:

  第一个数:1

  第二个数:4=1+3

  第三个数:10=1+3+6

  第四个数:20=1+3+6+10

  第五个数:35=1+3+6+10+15.

  例6 五面体数,见下图.

  仔细观察可以发现,五面体的每一层的圆点个数都是四角形数,因此五面体数可由几个四角形数相加得到:

  第一个数:1=1

  第二个数:5=1+4

  第三个数:14=1+4+9

  第四个数:30=1+4+9+16

  第五个数:55=1+4+9+16+25.

  例7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数,可以得出一系列等式,进而可猜想到一个重要的公式.

由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系.

  方法1:先算空心点,再算实心点:

  22+2×2+1.

  方法2:把点图看作一个整体来算32.

  因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:

  22+2×2+1=32.

  方法1:先算空心点,再算实心点:

  32+2×3+1.

  方法2:把点图看成一个整体来算:42.

  因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:

  32+2×3+1=42.

  方法1:先算空心点,再算实心点:

  42+2×4+1.

  方法2:把点图看成一个整体来算52.

  因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:

  42+2×4+1=52.

  把上面的几个等式连起来看,进一步联想下去,可以猜到一个一般的公式:

  22+2×2+1=32

  32+2×3+1=42

  42+2×4+1=52

  …

  n2+2×n+1=(n+1)2.

  利用这个公式,也可用于速算与巧算.

  如:92+2×9+1=(9+1)2=102=100

  992+2×99+1=(99+1)2

  =1002=10000.

百科词条:三角形

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