第四讲 认识简单数列

　　我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.

　　在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习找出数列的生成规律；学会把数列中缺少的数写出来，最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题.

　　例1 找出下面各数列的规律，并填空.

　　（1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.

　　（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.

　　（3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.

　　（4）1，4，7，10，□，□，19，22，25.

        （5） 5，10，15，20，□，□，35，40，45.

　　注意：自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.

　　例2 找出下面的数列的规律并填空.

　　1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.

　　解：这叫斐波那契数列，从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21，13+21=34.所以：

　　空处依次填：

　　例3 找出下面数列的生成规律并填空.

　　1，2，4，8，16，□，□，128，256.

　　解：它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的2倍.16×2=32，32×2=64，所以空处依次填：

　　例4 找出下面数列的规律，并填空.

　　1，2，4，7，11，□，□，29，37.

　　解：这数列规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是个自然数列：

　　例5 找出下面数列的规律，并填空：

　　1，3，7，15，31，□，□，255，511.

　　解：规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差的变化规律是个等比数列，后一个差是前一个差的2倍.

　　另外，原数列的规律也可以这样看：后一个数等于前一个数乘以2再加1，即后一个数=前一个数×2+1.

　　例6 找出下面数列的生成规律，并填空.

　　1，4，9，16，25，□，□，64，81，100.

　　解：这是自然数平方数列，它的每一个数都是自然数的自乘积.如：1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，，64=8×8，81=9×9，100=10×10.

　　若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚.

　　自然数列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

　　↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

　　自然数平方数列：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

　　例7 一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？（假定在坐满以前，无乘客下车，见表四（1））

　　方法2：由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78时，就可知道是到多少站了，

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）

　　可见第12站以后，车上坐满乘客.

　　例8 如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到一列数：3，10，17，……，73.这里3叫第一项，10叫第二项，17叫第三项，试求73是第几项？

　　解：从第1项开始，把各项依次写出来，一直写到73出现为止（见表四（2））.

　　可见73是第11项.

　　例9 一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？”小朋友，请你帮小明想一想？

　　解：小朋友，你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个纸盒的了！下面让我们算一算，看你想得对不对（见表四（3））.表四（3）

　　放满10个盒所需要的糖块总数：

　　可见100块糖是远远不够的，还差1946块呢！这可能是你没有想到的吧！其实，数学中还有很多很多奇妙无比的故事呢.