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第十二讲 奇与偶

来源:网络资源 文章作者:匿名 2011-07-28 14:48:46

整数0,1,2,3,4,5,6,7,可以被分为两类,一类是1,3,5,7,9,叫奇数;另一类是0,2,4,6,8,10叫偶数。一般习惯上,人们也把1,3,5,7,9叫单数;把2,4,6,8,10叫双数。下面是有关奇数与偶数方面的趣

  整数0,1,2,3,4,5,6,7,……可以被分为两类,一类是1,3,5,7,9,…叫奇数;另一类是0,2,4,6,8,10…叫偶数。

  一般习惯上,人们也把1,3,5,7,9…叫单数;把2,4,6,8,10…叫双数。

  下面是有关奇数与偶数方面的趣题。

例1 傍晚开电灯,小虎淘气,一连拉了7下开关。请你说说这时灯是亮了还是没亮?我们还不妨接着问,拉8下呢?拉9下呢?拉10下呢?甚至拉100下呢?你都能知道灯是亮还是不亮吗?

解:见下表。为了回答上面这些问题,我们从简单情况考虑起,并作出下表,便可一目了然。

  仔细观察,就可以找出规律:

  拉奇数次,灯亮;拉偶数次,灯不亮。

  对于大的数,比如说拉100下,可知灯不亮。因为100是个偶数。

例2 前十个自然数即1,2,3,……10的和是奇数还是偶数?

解:方法1:先把十个数加起来,再看和数的奇偶性。

  1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

  55是奇数,即前十个自然数之和是奇数。

  方法2:不用把和求出来也可以进行判断:

  先把前十个自然数的奇偶性写出来


  通过考察这些数相加相减的结果,不难理解:

  两个偶数的和与差,都是偶数;

  两个奇数的和与差也都是偶数;

  一个奇数与一个偶数的和与差,都是奇数;进一步还可以得出:

  只有奇数个奇数的和或差,才是奇数。

  现在再来数一数,前十个自然数中,一共有五个奇数,所以可以肯定它们的和必是奇数。

例3 ①把10个球分成三组,要求每组球的个数都是奇数,怎样分?

  ②把11个苹果分给三个小朋友,要求每个小朋友分得偶数个苹果,怎样分?

解:①不能分。因为如果三组球,每组都是奇数个球的话,总数必是奇数,而不可能是偶数,而10个球却是个偶数。

  ②不能分。因为如果每个小朋友都得到偶数个苹果,那么三个小朋友得到的苹果总数也必定是个偶数。而11个苹果是个奇数,所以无法分。

例4 小华买了一支铅笔、2块橡皮、2个练习本,付了1元钱,售货员找给他5分钱。小华看了看1支铅笔的价钱是8分,就说:“叔叔,您把账算错啦。”想一想,小华为什么这么快就知道账算错了?

解:利用数的奇偶性判断,不用计算就可知道这笔账算错了。因为1支铅笔的价钱8分是个偶数,另外,不论橡皮和练习本的价钱是多少,2块橡皮,以及2个练习本的钱也都是偶数,所以小华应付的总钱数应当是个偶数,他付了1元即100分,售货员找回的钱数也应是个偶数。但售货员叔叔实际找给他的5分是个奇数,所以小华说售货员把这笔账算错了,可见小华并不需要计算,只是根据奇偶性进行判断,就知道这笔账算错了。

例5 如下页图所示。在10米长的一段马路的一侧种树,每隔1米种一棵,两头都种,共种了11棵。如果把三块“爱护树木”的小牌任意挂在三棵树上,然后再把每两棵挂牌的树之间的距离是多少米都算出来,看一看这三个距离数(即多少米),至少有一个数是偶数,对吗?然后把三块小牌再挂在不同的三棵树上,再算算看。


解:这三个距离数(即多少米)中,至少有一个数是偶数这话是对的。比如像上图那样挂牌。

  A树和B树之间的距离AB=3(米)(奇数)

  B树和C树之间的距离BC=5(米)(奇数)

  A树和C树之间的距离AC=3+5=8(米)(偶数)

  这是为什么呢?可以这样想:

  假设距离AB和距离BC之中有一个为偶数,则自不待言;若AB和BC这两个距离都是奇数,则AB和BC之和必是偶数,因为两个奇数之和是偶数。所以说这三个距离中至少有一个是偶数。
 

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