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第16届华杯赛决赛试题及答案(杭州赛区小学组)

来源:上海奥数网 文章作者:   2011-07-26 15:57:55

第16届华杯赛决赛试题及答案(杭州赛区小学组)





 

答案:

1. 原式=(2+4+6+8)-(1/2+1/4+1/6+1/8)=20-(1+1/24)=18+23/24。

2. 8个人用30天完成了工程的1/3,那么8个人完成剩余工程(2/3)应该用60天,
增加4个人变成12个,应该用60÷12×8=40天,共用70天。

3. 甲乙的速度比为6:5,乙提速后的速度为5×1.6=8份。假设乙耽误的时间也在
以5的速度前进,则乙总共可以前进全程的7/6。也就是说相当于乙在用甲的速度
的5/6和8/6两种速度来骑甲的7/6的路程,根据十字相乘法,两种速度所用的时间
之比为1:2。也就是说,乙用5/6的速度行驶了5/6×1/3=5/18的路程,那么全程的
5/18-1/6=1/9就是5千米,全程45千米。

4. 因为35分20秒比一小时的3/5(36分钟)小一点,所以时针没有超过9后面的第
三个刻度线(即48分的刻度线);而分针在35分和36分之间。因此,两针所夹的
锐角内有36分~47分的刻度线,共47-36+1=12条。

5. △FAB是等边三角形,所以弧AF是六分之一圆,同理弧GC也是六分之一圆,则
弧GF是1/6+1/6-1/4=1/12圆,四条弧是1/3圆,长度为2×π×1÷3=2.094。

6. 每种先都减去1本,剩余40-2-5-11=22元。
如果再买2本11元的,恰好用完,1种方法;
如果再买1本11元的,剩余11元,可以买1本5元和3本2元,1种方法;
如果不再买11元的,22元最多买4本5元的,5元的本数可以是4,2,0,3种方法。
共有1+1+3=5种方法。

7. 该几何体是一个四棱锥,底面积为20×20=400,高为20,所以体积为
400×20÷3=8000/3(立方厘米)。

8. 大于11的质数13,17,19都只能作为分母为1的数的分母,如果它们作为同一
个分数的分子和分母,则剩余的10个可以都是整数。下面举例说明可以只有一个
不是整数:
13/1 22/11 20/10 18/9 16/8 14/7 15/5 21/3 4/2 12/6 19/17
共10个是整数。

9. 本题很类似另一个长方形和正方形的题。长方形的面积等于△ADF的2倍,如果
能说明梯形的面积也等于△ADF的2倍,则梯形的面积也等于2011平方厘米。
过D作DH∥AF交FG于H,把△DGH剪下来,DG边和DE边拼起来,因为∠E和∠G加起来
等于180°,所以可以拼成一个平行四边形,它和△ADF同底(AF)同高,所以面
积是△ADF的2倍。

10. 如果坏的两根就是本来不亮的,是351;
如果只有百位的不是3,则百位最多坏两根,可能是951或851;
如果只有十位的不是5,则十位最多坏两根,可能是361,391或381;
如果只有个位的不是1,则个位最多坏两根,可能是357或354;
如果百位十位都是错的,则这两位各坏一根,可能是961或991;
如果百位个位都是错的,则这两位各坏一根,可能是957;
如果十位个位都是错的,则这两位各坏一根,可能是367或397。
综上所述,可能是351,354,357,361,367,381,391,397,851,951,957,
961,991。共13种可能性。


11. 星期数相同且奇偶性相同,则相差14天。
如果是1号,15号,29号是星期日,则20号是星期五;
如果是3号,17号,31号是星期日,则20号是星期三;
一个月最多31天,所以不能再往下讨论了。

12. 这个加法算式中,从第一个大于0的项开始,依次有15个1,15个2,……
如果15(1+2+3+...+n)>2011,则1+2+3+...+n至少为135,也就是说n(n+1)至少为
270,n至少为16。
15(1+2+3+...+16)=2040,减去一个16为2024,仍大于2011,再减去一个16为2008,
小于2011了。所以最多减去一个16,还有14个16,n至少为15×16+14-1=253。

13. 显然华=1。根据弃九法,5不能出现。则0+1+2+3+4+6+7+8+9=40,2+0+1+1=4,
减少了36=4×9,所以共进4位。百位肯定向千位进1位,下面就十位和个位的进位
情况讨论:
如果十位向百位进2,个位向十位进1,则百位数字之和为8,十位数字之和为20,
个位数字之和为11。剩余的数字0,2,3,4,6,7,8,9可能的分组方法如下:
(0+8),(4+7+9),(2+3+6);(2+6),(3+8+9),(0+4+7);(2+6),(4+7+9),(0+3+8)。
注意0不能放在首位,所以共有1×6×6+2×6×6+2×6×6=180种。
如果十位向百位进1,个位向十位进2,则百位数字之和为9,十位数字之和为9,
个位数字之和为21。剩余的数字0,2,3,4,6,7,8,9可能的分组方法如下:
(0+9),(2+3+4),(6+7+8);(2+7),(0+3+6),(4+8+9);(3+6),(0+2+7),(4+8+9)。
注意0不能放在首位,所以共有1×6×6+2×4×6+2×4×6=132种。
综上所述,共180+132=312种。

14. 根据奇偶性,如果蜘蛛和爬虫都不停移动,则蜘蛛有可能永远抓不住爬虫。
那么,两只蜘蛛一开始的时候应该选择不懂。根据对称性,不妨设爬虫第一步移
动到了F。
⑴如果蜘蛛预知爬虫下一步移动到E或B,则蜘蛛也朝着该棱移动就行了。
⑵如果蜘蛛预知爬虫下一步移动到G,则一只移动到E,一只移动到B。无论爬虫下
一步移动到F,H,C中的哪个,总有一只蜘蛛可以移动到相应的顶点,爬虫就自投
罗网了。

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