本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。定理1两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（ad，b

1.已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。2.已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。3.已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。4.已知两个自然数的差

1.此数为28。2.这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。3.所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105，或75与90。点击查看更多

你会解答下面的问题吗？问题1：今天是星期日，再过15天就是六一儿童节了，问六一儿童节是星期几？这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而157=21，即15＝72+1，所以六一儿童节是星期一。问题2：1993年的元旦是星期

1.验证对于任意整数a、b，式子ab（mod1）成立，并说出它的含义。2.已知自然数a、b、c，其中c3，a除以c余1，b除以c余2，则ab除以c余多少？3.1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？4.求33335555＋5555

1.例：∵1|a-b，23（mod1），715（mod1），式子ab（mod1）的含义是：任意整数a、b对模1同余.整数是模1的同余类。2.解：∵a1（modc），b2（modc），ab＝2（modc）即ab除以c余2。3.1993年的十月一日是星期五。4.解：∵

大家已学过简单的列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代著名的鸡兔同笼问题。如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）。小学阶段主要是涉及整系

1.小明问小强：你养了几只兔和鸡？小强说：我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？2.李明带6元钱到花店买花.如果月季花1元钱一盆，茉莉花8角钱一盆，要把6元钱刚好用完.问能买月季花和茉莉花各多少

1.提示：鸡有2条腿，兔有4条腿。答：兔有5只，鸡有2只。2.买月季花2盆，茉莉花5盆或只买6盆月季花.3.共16支或12支。点击查看更多

时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为60格.点击查看更多

1.在6点和7点之间，两针什么时刻重合？2.现在是2点15分，再过几分钟，时针和分针第一次重合？3.2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？4.在7点与8点之间（包含7点与8点）的什么时刻，两针之间的夹角为120？5.

点击查看更多

游戏对策问题因常与智力游戏相结合，因此具有很大的趣味性.又由于解题方法灵活，技巧性强，所以对开阔解题思路，提高分析问题解决问题的能力是很有益处的。例1在一个33的方格纸中，甲乙两人轮流（甲先）往方格纸中填

1.如果把例1中的九个数改为1、2、3、4、5、6、7、8、10（注意缺少9），得分少者为胜，甲先填，请你为甲找出一种必胜的策略。2.甲乙两人玩轮流从右图中选数的游戏，谁选的数中有三个在同一条直线上（即和为15），谁就

1.解：为了叙述方便，在右图中标上字母a、b、c、d、e、f、g、h、i。此题与例1几乎完全一样，只是把1改为10，把3～10改为8～1，把得分多者胜改为得分少者胜.因此，甲在必胜策略上也相仿，只需把填大（小）数改为填小

由于数学学科的特点，通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径.为了使同学们在思考问题时更严密更合理，会有很有据地想问题，而不是凭空猜想，这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。解答这

1.有一个珠宝店发生了一起盗窃案，被盗走了许多珍贵的珠宝.经过几个月的侦破，查明作案的人肯定是A、B、C、D中的一个，把这四个人当作重大嫌疑犯进行审讯，这四个人有这样的口供：A：珠宝店被盗那天，我在别的城市，

1.根据B、D两人的话矛盾，可知两句话中必有一句真话，一句假话.假设B说真话，那么D是罪犯，而A也说了真话，产生了矛盾，所以只有D说真话，其余三人均说假话，则A偷了珠宝。2.直接推理可得，由于每人只说对一半，且只

上一讲我们介绍了有关逻辑推理问题的简单例子，它并没有用到专门的数学原理，而是直接运用正确推理，解决逻辑问题的.这一讲我们将利用图表解决一些较为复杂的逻辑推理问题。例11一次数学考试，共六道判断题.考生认为

1.A、B、C、D四位同学参加60米赛跑的决赛.赛前，四位同学对比赛结果各说了如下的一句话：A说：我会得第一名.B说：A、C都不会取得第一名.C说：A或B会得第一名.D说：B会得第一名.结果有两位同学说对了.试问：谁会获得

1.某校的小学生年龄最小的6岁，最大的13岁，从这个学校中任选几位同学就一定保证其中有两位同学的年龄相同？2.中午食堂有5种不同的菜和4种不同的主食，每人只能买一种菜和一种主食，请你证明某班在食堂买饭的21名学

1.从6岁到13岁共有8种不同的年龄，根据抽屉原理，任选9名同学就一定保证其中有两位同学的年龄相同。2.共有45=20（种）不同的买饭菜的方式，看作20个抽屉，21名同学按照买饭菜的方式进入相应的抽屉，根据抽屉原理，至

我们知道，把3个苹果随意放进两个抽屉里，至少有一个抽屉里有两上或两个以上的苹果.如果把5个苹果放进两个抽屉里，上述结果当然还能成立.能不能有更强一点的结果呢？我们发现把5个苹果往两个抽屉里放，即使每个抽屉

1.幼苗杯数学竞赛获奖的87名学生来自12所小学，证明：至少有8名学生来自同一所学校。2.在一米长的线段中任意放入7个点，证明：不论怎样放，至少有两点之间的距离小于17厘米。3.52张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花4

1.把12所小学看作12抽屉，87名获奖学生是哪所小学的就进入相应的抽屉。∵87＝127＋3，根据抽屉原理，至少有8名学生来自同一所小学。17厘米.把7个点任意放入这6段中，根据抽屉原理，至少有两个点落在同一段中.则这两

根据抽屉原理可以解决许多有趣的问题，关键在于根据不同的问题制造抽屉.如研究整除问题时常用剩余类当作抽屉，研究长度和面积时用图形制造抽屉等等.在这一讲中将研究如何用颜色当作抽屉来解决一些问题。例1平面上有A

1.一天，颐和园知春亭中有6位游客.请证明：他们之中必有三名互相认识或者互相不认识。2.用红、黑两种颜色将一个29的长方形中的小方格随意染色，每个小方格染一种颜色，证明：至少有3列小方格中染的颜色完全相同。3.

1.把六位游客看作平面上的六个点（任意三点不共线），互相认识的用红线连接，不认识的用蓝线连接，按例1的证法即可得出结论。2.29的长方形有9列，每列有两个小方格，用红、黑两色染色，共有4种不同的方式，看作4个抽

在小学阶段学习的各种平面图形之间有着密切的联系.我们把平面图形之间的转化方法及它们的面积、周长公式归纳如下图：点击查看更多

1.右图是一个圆心角为45的扇形，其中直角三角形BOC的直角边为6厘米，求阴影部分面积。点击查看更多

1.提示：针对本题特点，选用先扩大再缩小的方法解题.把原图作为一个整体扩大一倍，使其成为圆心角是90的扇形，使问题得解.（见右图）点击查看更多

我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：点击查看更多

一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：点击查看更多

点击查看更多

不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段

一、填空题（根据图中所给的数据求阴影部分面积）点击查看更多

一、填空题：1.阴影部分等于正方形面积的一半，即4.5（平方单位）。2.阴影部分等于三角形面积的一半，即25（平方单位）。3.阴影部分等于一个小正方形的面积，即1（平方单位）。点击查看更多

我们已经学习了长方体和正方体，知道长方体或正方体六个面面积的总和叫做长方体或正方体的表面积.如果长方体的长用a表示、宽用b表示、高用h表示，那么，长方体的表面积=（ab＋ah＋bh）2.如果正方体的棱长用a表示，则

1.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？点击查看更多

1.解：44＋（11＋22＋44）4=100（平方米）。答：模型涂刷油漆的面积是100平方米。2.解：1.522＋2（0.5+1+1.5）1＝32.97（平方米）。答：这个物体的表面积为32.97平方米。3.解：622＋（12＋22＋32＋42＋52+62）4=436